2019秋高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法课件 新人教A版必修5

第二章数列2．1数列的概念与简单表示法[学习目标]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式等)．2.了解数列是一种特殊函数．[知识提炼·梳理]1．数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项．2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为{an}．3．数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．数列的通项如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．数列与函数的关系数列可以看作是以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．6．数列的递推公式如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．7．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图像法、列表法、递推公式法．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列()(2)数列0，1，2，3，…可以表示为{n}()(3)数列0，1，0，1，…是常数列()(4)数列nn＋1是递增数列()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，n为正奇数，an＋1，n为正偶数，则其前6项之和是()A．16B．20C．33D．120解析：a1＝1，a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6项之和为33.答案：C3．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式是an＝()A.19(10n－1)B.131－110nC.29(10n－1)D.310(10n－1)解析：1－1101＝0.9，1－1102＝0.99，…，故原数列的通项公式为an＝131－110n.答案：B4．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝()A．－3B．－11C．－5D．19解析：a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19.答案：D5．已知a1＝1，an＝1＋1an－1(n≥2)，则a5＝________．解析：a2＝1＋1a1＝1＋1＝2，a3＝1＋1a2＝1＋12＝32，a4＝1＋1a3＝1＋23＝53，a5＝1＋1a4＝1＋35＝85.答案：85类型1数列的表示及分类(自主研析)[典例1](1)下列说法正确的是()A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是同一数列C．数列－1，3，6，－5的第三项为6D．数列可以看成是一个定义域为正整数集N*的函数(2)已知下列数列：①2011，2012，2013，2014，2015，2016；②1，12，14，…，12n－1，…；③1，－23，35，…，（－1）n－1·n2n－1，…；④1，0，－1，…，sinnπ2，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是________(填序号，下同)，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．解析：(1)由数列定义知A，B不正确；D不正确的原因是数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．(2)①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．答案：(1)C(2)①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④归纳升华1．理解数列的定义时要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．2．项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次．3．{an}与an是不同的概念．{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；而an表示数列{an}中的第n项．4．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性．(2)可重复性：数列中的数可以重复，集合中的元素不能重复出现(即互异性)．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关；集合中的元素没有顺序(即无序性)．(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．5．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限．[变式训练]给出以下数列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1000；③8，8，8，8，…；④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810.其中，有穷数列为________(填序号，下同)，无穷数列为________，递增数列为__________________，递减数列为_____________，摆动数列为__________________；常数列为__________________．解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.答案：②④①③②④①③类型2由数列的前几项写出数列的通项公式[典例2]写出以下数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．(1)0，3，8，15，…；(2)1，－3，5，－7，…；(3)112，223，334，445，…；(4)1，11，111，1111，….解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N*)．(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)．(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为nn＋1，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋nn＋1＝n2＋2nn＋1(n∈N*)．(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9999，…，易知数列9，99，999，9999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝19(10n－1)(n∈N*)．归纳升华1．一般数列通项公式的求法：2．对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题．3．对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数的性质解决．[变式训练]已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．(1)－1，12，－13，14；(2)3，3，15，21；(3)0.9，0.99，0.999，0.9999；(4)3，5，3，5.解：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·1n.(2)数列可化为3，9，15，21，即3×1，3×3，3×5，3×7，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝3（2n－1）＝6n－3.(3)原数列可变形为1－110，1－1102，1－1103，1－1104，…，故数列的一个通项公式为an＝1－110n.(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝3（n为奇数）5（n为偶数）.类型3由递推公式求通项公式(互动探究)[典例3](1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋1n（n＋1），n∈N*，求通项公式an；(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)，求通项公式an；(3)已知数列{an}满足a1＝12，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式．解：(1)因为an＋1－an＝1n（n＋1），所以a2－a1＝11×2；a3－a2＝12×3；a4－a3＝13×4；…an－an－1＝1（n－1）n；以上各式累加得，an－a1＝11×2＋12×3＋…＋1（n－1）n＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1－1n)＝1－1n.所以an＋1＝1－1n，所以an＝－1n(n≥2)．又因为n＝1时，a1＝－1，符合上式，所以an＝－1n.(2)因为a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)，所以anan－1＝n－1n，an＝anan－1×an－1an－2×an－2an－3×…×a3a2×a2a1×a1＝n－1n×n－2n－1×n－3n－2×…×23×12×1＝1n(n≥2)．又因为n＝1时，a1＝1，符合上式，所以an＝1n.(3)因为anan－1＝an－1－an，所以1an－1an－1＝1.所以1an＝1a1＋1a2－1a1＋1a3－1a2＋…＋1an－1an－1＝2＋＝n＋1.所以1an＝n＋1.所以an＝1n＋1(n≥2)．所以an＝1n＋1.又因为n＝1时，a1＝12，符合上式．归纳升华由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式．1．累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．2．累乘法：当anan－1＝g(n)时，常用an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1求通项公式．[迁移探究]若将典例3(3)中的条件“anan－1＝an－1－an(n≥2)”改为“anan－1＝an－1＋an(n≥2)”，其余条件不变，求数列{an}的通项公式．解：因为anan－1＝an－1＋an，所以1an－1＋1an＝1.令bn＝1an，解得b1＝2，bn－1＋bn＝1(n≥2)．所以b2＝1－b1＝－1.又由bn－1＋bn＝1，得bn＋bn＋1＝1.所以bn＋1＝bn－1(n≥2)．所以bn＝bn－2(n≥3)．所以当n＝2k(k∈N*)时，b2k＝b2k－2＝b2k－4＝…＝b2＝－1，得a2k＝－1，当n＝2k－1(k∈N*)时，b2k－1＝b2k－3＝b2k－5＝…＝b1＝2，得a2k－1＝12.综上，得an＝12，n为奇数，－1，n为偶数.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质．(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，但它没有通项公式．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几个方面的特征：分式中分子、分母的特征，相邻项的变化特征，拆项后的特征，各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．3．如果一个数列有通项公式，则它