2019年高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理课件 新人教A版必修5

1.1.2余弦定理课标要求:1.掌握余弦定理及其推论.2.会用平面向量方法证明余弦定理.3.能利用余弦定理解决两类解三角形问题.4.能利用余弦定理,结合正弦定理判断三角形的形状.自主学习知识探究1.余弦定理的内容及推论三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即a2=,b2=,c2=.推论:cosA=,cosB=,cosC=.2222bcabcb2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC2222acbac2222abcab2.对余弦定理的理解(1)适用范围:对任意的三角形,三个等式都成立.(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.(3)简单应用:每个等式都涉及三边和一角四个元素,在等式中可做到知三求一.若已知边求角时,应用余弦定理的推论较为简单.(4)定理特例:当夹角为90°时(例如C=90°),则定理变为c2=a2+b2.这就是直角三角形中的勾股定理.余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.(5)以cosA=为例:若角A为锐角,则cosA0,从而b2+c2-a20,则b2+c2a2,反之亦成立;若角A为钝角,则cosA0,从而b2+c2-a20,则b2+c2a2,反之亦成立;若角A为直角,则cosA=0,从而b2+c2-a2=0,则b2+c2=a2,反之亦成立.由此概括为:如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.由此可判断三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.注意:判断三角形是锐角三角形时,需要确定最大角是锐角或者三个角都是锐角才行.2222bcabc自我检测1.△ABC的两边AB,AC的长分别为5和3,它们夹角的余弦值为-,则该三角形的第三边长为()(A)52(B)2(C)16(D)41335B解析:由条件可知cosA=-35,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=52+32-2×5×3×（-35）=52,所以BC=52=213.故选B.2.在△ABC中,a=7,b=43,c=13,则△ABC的最小角为()(A)π3(B)π6(C)π4(D)π12B解析:由c=13最小知角C最小,cosC=2222abcab=4948132743=32,所以C=π6,选B.C3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若0,则△ABC()(A)一定是锐角三角形(B)一定是直角三角形(C)一定是钝角三角形(D)是锐角或直角三角形2222cabab解析:由0得-cosC0,所以cosC0,从而C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形.故选C.2222cabab4.在△ABC中,sin2A-sin2C-sin2B=sinBsinC,则A等于()(A)30°(B)60°(C)90°(D)120°解析:根据正弦定理的推广sinaA=sinbB=sincC=2R(R为△ABC的外接圆的半径)得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,从而原等式等价于a2-b2-c2=bc,结合cosA=2222bcabc得cosA=-12,由0°A180°得A=120°.故选D.D5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足b2=ac,且c=2a,则cosB=.解析:因为b2=ac,且c=2a,所以cosB=2222acbac=2224222aaaaa=34.答案:34题型一已知两边及一角解三角形课堂探究【例1】(1)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求角A、角C和边a.解:(1)法一由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得32=a2+(33)2-2a×33×cos30°,所以a2-9a+18=0,得a=3或a=6.当a=3时,由于b=3,所以A=B=30°,所以C=120°.当a=6时,由正弦定理得sinA=sinaBb=1623=1.所以A=90°,所以C=60°.3法二由正弦定理得sinC=sincBb=13323=32,因为bc,所以C=60°或120°,当C=60°时,A=90°,由勾股定理得a=22bc=22333=6,当C=120°时,A=30°,△ABC为等腰三角形.所以a=3.(2)在△ABC中,已知a=3,b=2,B=45°,解此三角形.解:(2)因为b2=a2+c2-2accosB,所以2=3+c2-23·22c,即c2-6c+1=0,当c=622时,由余弦定理,得cosA=2222bcabc=26223262222=12.因为0°A180°,所以A=60°,所以C=75°.当c=622时,由余弦定理,得cosA=2222bcabc=26223262222=-12.因为0°A180°,所以A=120°,C=15°.故c=622,A=60°,C=75°或c=622,A=120°,C=15°.方法技巧三角形中,已知两边及一角解三角形有以下两种情况.(1)三角形中已知两边和一边的对角,有两种解法.一是利用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程,运用解方程的方法求出第三边,这样可免去判断取舍的麻烦.二是运用正弦定理,先求角再求边.(2)已知两边和两边夹角,直接应用余弦定理求出第三边,然后应用正弦定理或余弦定理推论求出另外两角.即时训练1-1:(1)在△ABC中,已知a=2,b=2,c=15°,求A.解:(1)因为cos15°=cos(45°-30°)=624,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=4+8-22×(6+2)=8-43,所以c=6-2.所以cosA=2222bcabc=32.又0°A180°,所以A=30°.2(2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,c=4(+1),解此三角形.解:(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=82+[4(3+1)]2-2×8×4(3+1)·cos60°=64+16(4+23)-64(3+1)×12=96.所以b=46.法一cosA=2222bcabc=296163164246431=22,因为0°A180°,所以A=45°.故C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.3法二由正弦定理得sinaA=sinbB,所以8sinA=46sin60,所以sinA=22,因为ba,ca,所以a最小,即A为锐角.因此A=45°.故C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.题型二已知三边(或三边关系)解三角形【例2】(1)在△ABC中,已知a=26,b=6+23,c=43,求角A,B,C.解:(1)在△ABC中,cosC=2222abcab=2222662343226623=243124231=22.所以C=45°,sinC=22.由正弦定理得sinA=sinaCc=226243=12.因为ac,所以AC,所以A=30°.所以B=180°-(A+C)=180°-(30°+45°)=105°.(2)在△ABC中,已知a2+c2=b2+ac,且sinA∶sinC=(+1)∶2,求角C.3解:(2)因为a2+c2=b2+ac,a2+c2-b2=2accosB.所以2accosB=ac,所以cosB=12.因为0°B180°,所以B=60°,A+C=120°.因为sinsinAC=312,所以2sinA=(3+1)sinC.所以2sin(120°-C)=(3+1)sinC.所以2sin120°cosC-2cos120°sinC=(3+1)sinC,所以sinC=cosC,所以tanC=1,所以C=45°.误区警示(1)已知三角形三边求角,可先用余弦定理求一个角,再用正弦定理(也可继续用余弦定理)求另一个角,进而求出第三个角.(2)用正弦定理求角时,要注意根据大边对大角的原理,确定角的大小,防止产生增解或漏解.解析:(1)由已知得(a+c)(a-c)=b(b+c),a2-c2=b2+bc,cosA=2222bcabc=222bbbcbc=-12,所以A=120°.故选C.即时训练2-1:(1)在△ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lgb-lg,则A等于()(A)90°(B)60°(C)120°(D)150°1bc(A)43(B)8-43(C)1(D)23(2)△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为()解析:(2)由题c2=(a+b)2-4=a2+b2+2ab-4,又C=60°,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,所以2ab-4=-ab,所以ab=.故选A.43题型三利用余弦定理判断三角形形状【例3】(1)在△ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,则△ABC的形状是()(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不能确定(1)解析:由正弦定理知sinaA=sinbB=sincC=2R,则sin2A+sin2Bsin2C得（2aR）2+（2bR）2（2cR）2,即a2+b2c2.由余弦定理知cosC=2222abcab0.故C为钝角,△ABC为钝角三角形.故选C.(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a+c=2b,且2cos2B-8cosB+5=0,求B的大小,并判断△ABC的形状.(2)解:因为2cos2B-8cosB+5=0,所以4cos2B-8cosB+3=0,所以cosB=12或cosB=32(舍去).因为B∈(0°,180°),所以B=60°,所以由余弦定理得cosB=2222acbac=12,又因为a+c=2b,所以a2+c2-（2ac）2=ac,所以4a2+4c2-(a2+c2+2ac)=4ac,所以3a2+3c2-6ac=0,所以(a-c)2=0,所以a=c,所以△ABC为等边三角形.方法技巧判断三角形形状的两种途径.其一是利用正、余弦定理将条件中的角转化为边,通过因式分解,配方等方式得出边的关系,进而判断三角形的形状;其二是利用正、余弦定理将条件中的边转化为角,通过三角变换,得出各内角间的关系,进而判断三角形的形状.即时训练3-1:(1)在△ABC中,若acosA+bcosB=ccosC.试判断△ABC的形状.解:(1)由余弦定理可得a·2222bcabc+b·2222acbac=c·2222abcab,等式两边同乘以2abc,得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2),整理化简得a4+b4-2a2b2=c4,所以(a2-b2)2=c4.因此有a2-b2=c2或b2-a2=c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2,故△ABC是以A(或B)为直角的直角三角形.(2)在△ABC中,若(a-c·cosB)·sinB=(b-c·cosA)·sinA,判断△ABC的形状.解:(2)法一结合正弦定理及余弦定理知,原等式可化为（a-c·2222acbac）·b=（b-c·2222bcabc）·a,整理得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,所以a2+b2-c2=0或a2=b2,故三角形为等腰三角形或直角三角形.法二由题(sinA-sinCcosB)sinB=(sinB-sinCcosA)·sinA,即sinCsinBcosB=sinCsinAcosA,即sin2B=sin2A,则A=B或A+B=π2,得△ABC是等腰三角形或直角三角形.