2019年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课件 新人

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课标要求:1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标.自主学习知识探究(2)空间向量基本定理的证明如图,已知a,b,c不共面,过点O作OA=a,OB=b,OC=c,OP=p.过点P作直线PP′∥OC,交平面OAB于点P′,在平面OAB内过点P′作P′A′∥OB,P′B′∥OA,分别与直线OA,OB交于点A′,B′,连接OP′.于是存在三个实数x,y,z,使OA=xOA=xa,OB=yOB=yb,PP=zOC=zc,则OP=OP+PP=OA+OB+PP=xOA+yOB+zOC,所以p=xa+yb+zc.1.空间向量基本定理(1)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.(3)基底与基向量如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.注意:(1)若p=xa+yb+zc,则xa+yb+zc叫做向量a,b,c的线性表示式或线性组合,或者说p可以由a,b,c线性表示.(2)对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面外,还应明确以下三点:①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.②基底中的三个向量a,b,c都不是0.这是因为0与任意向量共线,与任意两个向量共面.③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的,是一个向量组,基向量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念.(3)如果把空间向量基本定理中的向量p,a,b,c分别用表示该向量的有向线段表示,我们可以得到下面的推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组{x,y,z},使OP=xOA+yOB+zOC,当且仅当x+y+z=1时,P,A,B,C四点共面.2.空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,并且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,通常用{i,j,k}或{e1,e2,e3}表示.(2)空间直角坐标系在空间任选一点O和一个单位正交基底{e1,e2,e3},以O为坐标原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.其中O叫坐标原点,向量e1,e2,e3叫坐标向量,经过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,它们分别是xOy平面、xOz平面、yOz平面.(3)空间向量的坐标表示给定一个空间直角坐标系Oxyz和空间任意一个向量p,一定可以把p平移,使它的起点与坐标原点O重合,得到向量OP=p.由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3(e1,e2,e3为坐标向量).把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z).此时向量p的坐标就是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,即点P的坐标为(x,y,z),其中x,y,z分别叫做点P的横坐标、纵坐标、竖坐标.(4)空间任一点P的坐标的确定过点P(x,y,z)作面xOy的垂线,垂足为P′,在面xOy中,过点P′分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A,C,则|x|=|P′C|,|y|=|AP′|,|z|=|PP′|,如图,x,y,z的符号视点P的位置而定,在写点P的坐标时,三个坐标之间的顺序不可颠倒.注意:(1)因为e1,e2,e3两两垂直,所以e1·e2=e1·e3=e2·e3=0.(2)因为e1,e2,e3为单位向量,所以e1·e1=1,e2·e2=1,e3·e3=1.(3)空间直角坐标系的画法:作空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°,∠yOz=90°.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指能指向z轴的正方向,则称此坐标系为右手直角坐标系.本书中使用的坐标系一般都是右手直角坐标系,如图.自我检测1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是()(A)3a,a-b,a+2b(B)2b,b-2a,b+2a(C)a,2b,b-c(D)c,a+c,a-cC解析:对于A,有3a=2(a-b)+a+2b,则3a,a-b,a+2b共面,不能作为基底;同理可判断B,D错误.故选C.解析:因为OC=12a-12b且a,b不共线,所以a,b,OC共面,所以OC与a,b不能构成一组空间基底.故选C.2.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=OA+OB+OC,向量b=OA+OB-OC,则与a,b不能构成空间基底的向量是()(A)OA(B)OB(C)OC(D)OA或OBC解析:OA=2a+b+3c=8i+4j+2j+3k+9k-3j=8i+3j+12k.所以点A的坐标为(8,3,12).故选D.3.已知O为坐标原点,OA在基底{a,b,c}下的坐标为{2,1,3},其中a=4i+2j,b=2j+3k,c=3k-j,则向量OA在基底{i,j,k}下的坐标为()(A)(7,3,12)(B)(3,7,12)(C)(2,4,6)(D)(8,3,12)D答案:(1,-3,)4.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量,且向量p=i-3j+k,则p的坐标为.125.从空间一点P引出三条射线PA,PB,PC,在PA,PB,PC上分别取PQ=a,PR=b,PS=c,点G在线段PQ上,且PG=2GQ,H为RS的中点,则GH=.(用a,b,c表示)答案:12b+12c-23a12题型一空间向量基本定理的理解课堂探究【例1】若{a,b,c}是空间一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底.解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),所以a+b=λb+μa+(λ+μ)c.因为{a,b,c}为基底,所以a,b,c不共面.所以1,1,0此方程组无解.所以a+b,b+c,c+a不共面,所以{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底.变式探究:若本例条件不变,试判断{a+b,a-b,c}能否作为空间的一个基底.解:假设a+b,a-b,c共面,则存在实数x,y,使c=x(a+b)+y(a-b),即c=(x+y)a+(x-y)b,从而由共面向量知c与a,b共面,这与a,b,c不共面矛盾.所以a+b,a-b,c不共面,即可以作为空间的一个基底.方法技巧判断某一向量组能否作为基底,关键是判断它们是否共面.如果从正面难以入手,可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.(1)解析:如图所示,令a=AB,b=1AA,c=AD,则x=1AB,y=1AD,z=AC,a+b+c=1AC.由于A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故选C.即时训练1-1:(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,则{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},其中可以作为空间一个基底的向量组有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(2)已知{e1,e2,e3}为空间一基底,且OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,OC=e1+e2-e3,能否以OA,OB,OC构成空间的一个基底?(2)解:能.假设OA,OB,OC共面,根据向量共面的充要条件有OA=xOB+yOC,即e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.所以31,2,21.xyxyxy此方程组无解.所以OA,OB,OC不共面.所以OA,OB,OC可构成空间的一个基底.(2)AD·BD;(3)GF·AC;(4)EF·BC.解:(2)|AD|=a,|BD|=a,AD,BD=60°,所以AD·BD=a2cos60°=12a2.(3)|GF|=12a,|AC|=a,又因为GF∥AC,GF,AC=π,所以GF·AC=12a2cosπ=-12a2.(4)因为|EF|=12a,|BC|=a,EF∥BD,所以EF,BC=BC,BD=60°,所以BC·EF=12a2cos60°=14a2.题型二空间向量基本定理的应用【例2】如图,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设OA=a,OC=b,OP=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表示:BF,BE,AE,EF.解:连接BO(图略),则BF=12BP=12(BO+OP)=12(c-b-a)=-12a-12b+12c.BE=BC+CE=-a+12CP=-a+12(CO+OP)=-a-12b+12c.AE=AP+PE=AO+OP+12(PO+OC)=-a+c+12(-c+b)=-a+12b+12c.EF=12CB=12OA=12a.方法技巧(1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算进行.(2)若没给定基底时,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.(1)解析:因为BE=3ED,所以BE=34BD=34(AD-AB),AG=23×12(AB+AC)=13(AB+AC),所以GE=AE-AG=AB+BE-AG=AB+34(AD-AB)-13(AB+AC)=-112AB+34AD-13AC.即时训练2-1:(1)在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,以{AB,AC,AD}为基底,则GE=.答案:-112AB+34AD-13AC(2)如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′,点E是上底面A′B′C′D′的中心,分别取向量AB,AD,AA为基底,若①BD=xAD+yAB+zAA;②AE=xAD+yAB+zAA.试分别确定x,y,z的值.(2)解:①因为BD=BD+DD=BA+AD+DD=-AB+AD+AA,又BD=xAD+yAB+zAA,所以x=1,y=-1,z=1.②因为AE=AA+AE=AA+12AC=AA+12(AB+AD)=12AD+12AB+AA,又AE=xAD+yAB+zAA,所以x=12,y=12,z=1.空间向量的坐标表示题型三解:因为PA=AB=AD=1,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以AB,AD,AP是两两垂直的单位向量.设AB=e1,AD=e2,AP=e3,以{e1,e2,e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.【例3】如图所示,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系,并求向量的坐标.MN法一因为MN=MA+AP+PN=-12AB+AP+12PC=-12AB+AP+12(PA+AC)=-12AB+AP+12(PA+AB+AD)=12AD+12AP=12e2+12e3,所以MN=(0,12,12).法二如图所示,连接AC,BD交于点O.则O为AC,BD的中点,连接MO,ON,所以MO=12BC=12AD,ON=12AP,所以MN=MO+ON=12AD+12AP=12e2+12e3.所以MN=(0,12,12).方法技巧用坐标表示空间向量的方法步骤为(1)观察图形特征,寻找两两垂直的三条直线.(2)根据图形特征建立空间直角坐标系.(3)用基底表示向量.(4)确定向量的坐标.即时训练3-1:(1)设{i,j,k}是单位正交基底,已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4