2019年高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教A版必修4

2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量课标要求:1.了解向量的实际背景.2.理解向量、零向量、单位向量及相等向量的概念及向量的几何表示.3.掌握共线向量的概念.自主学习1.向量的概念数学中,我们把既有___________,又有___________的量叫做向量.探究:向量有哪两个要素?提示:大小和方向.2.有向线段带有_________的线段叫做有向线段,它包含三个要素:起点、方向、长度.3.向量的表示方法知识探究(1)向量可以用____________表示,向量AB的大小,也就是向量AB的_______(或称模),记作___________.大小方向方向有向线段长度︱AB︱(2)用字母表示向量:通常在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,…表示向量,在手写时用带箭头的小写字母a,b,c,…表示向量.也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB,CD.4.几种特殊的向量(1)零向量:长度为的向量叫做零向量,记作_______.(2)单位向量:长度等于_____________的向量叫做单位向量.(3)相等向量:长度__________且方向___________的向量叫做相等向量.(4)平行向量:方向P____________的非零向量叫做平行向量,如果向量a和b平行,记作_____________;规定:零向量与任一向量平行,即对于任意向量a,都有_______.001个单位相等相同相同或相反a∥b0∥a(2)当有向线段的起点A与终点B重合时,AB=0.【拓展延伸】(1)定义中的零向量、单位向量都是只限制长度,不确定方向.(3)要注意0与0的区别及联系,0是一个实数,0是一个向量,且有︱0︱=0.(4)在平面内,所有单位向量的起点平移到同一点,则它们的终点可构成一个半径为1的圆.(5)有向线段与向量的区别和联系①区别:从定义上看,向量有大小和方向两个要素,而有向线段有起点、方向、长度三个要素,因此,这是两个不同的量.在空间中,有向线段是固定的线段,而向量是可以自由平移的.②联系:有向线段是向量的表示,并不是说向量就是有向线段,每一条有向线段对应着一个向量,但每一个向量对应着无数多条有向线段.(6)理解平行向量的概念时,需注意,平行向量和平行直线是有区别的,平行直线不包括重合的情况,而平行向量是可以重合的.(7)共线向量就是平行向量,其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上,共线向量(非零向量)有以下四种情况:方向相同且模相等;方向相同且模不等;方向相反且模相等;方向相反且模不等.这样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量.(8)对共线向量的类型讨论,要考虑方向、长度和位置,尤其不能忘记对零向量的讨论.(9)向量相等具有传递性,即a=b,b=c,则a=c.而向量的平行不具有传递性,若a∥b,b∥c,未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量,那么当b=0时,a,c可以是任意向量,所以a与c不一定平行,但若b≠0,则必有a∥b,b∥c⇒a∥c.因此,解答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量.1.下列四个说法正确的是()(A)两个单位向量一定相等(B)若a与b不共线,则a与b都是非零向量(C)共线的单位向量必相等(D)两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同自我检测B(B)共线向量是在一条直线上的向量(C)长度相等的向量叫做相等向量(D)零向量长度等于0D2.下列说法正确的是()(A)向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线D3.下列命题中,正确的是()(A)若︱a︱=0,则a=0(B)若︱a︱=︱b︱,则a=b或a=-b(C)若a与b是平行向量,则︱a︱=︱b︱(D)若a=0,则-a=04.如图,四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形,则与EB相等的向量有,与AB共线的向量有.答案:AB,DCED,DC,BA,DE,CD,EC,CE5.设a0,b0是两个单位向量,则下列结论中正确的是(填序号).①a0=b0;②a0=-b0;③︱a0︱+︱b0︱=2;④a0∥b0.解析:因为a0,b0都是单位向量,所以︱a0︱=1,︱b0︱=1.从而︱a0︱+︱b0︱=2.答案:③题型一向量的有关概念课堂探究【例1】(1)下列说法中错误的是()(A)零向量是没有方向的(B)零向量的长度为0(C)零向量与任一向量平行(D)零向量的方向是任意的解析:(1)零向量是规定了模为0的向量,其方向是任意的,可以看作和任一向量平行,但并不是没有方向.故A错误.故选A.(2)已知下列命题.①有向线段就是向量,向量就是有向线段②如果向量与向量共线,则A,B,C,D四点共线③如果a∥b,b∥c,那么a∥c;④两个向量不能比较大小,但是它们的模能比较大小.其中正确的命题为()(A)①③④(B)③④(C)④(D)②③解析:(2)对于①,向量是矢量,用有向线段表示,但有向线段本身不是向量,所以①错误;对于②,当向量AB与向量CD共线时,A,B,C,D四点不一定共线,所以②错误;对于③,当a∥b,b∥c时,若b=0,则a∥c不一定成立,所以③错误;对于④,向量是矢量,两个向量不能比较大小,它们的模能比较大小,所以④正确.综上,正确命题的序号是④.故选C.误区警示向量概念理解的误区(1)求解向量的问题时不可忽视向量的大小与方向.(2)求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零,方向任意;零向量与任一向量平行;所有的零向量相等.即时训练1-1:(1)下列结论中正确的是()(A)若AB是单位向量,则BA不是单位向量(B)向量是有向线段,有向线段是向量(C)方向向南的向量与方向向北的向量是共线向量(D)平面内的单位向量只有一个解析:(1)只有C选项正确.故选C.答案:(1)C(2)下列说法错误的有.(填上你认为所有符合的序号)①两个单位向量不可能平行;②两个非零向量平行,则它们所在直线平行;③当两个向量a,b共线且方向相同时,若︱a︱︱b︱,则ab.解析:(2)①错误,单位向量也可能平行;②错误,两个非零向量平行,则它们所在直线还可能重合;③错误,两个向量是不能比较大小的,只有模可以比较大小.答案:(2)①②③题型二相等向量与共线向量【例2】在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AD,BC的中点,如图.(1)解:由共线向量满足的条件得与向量FC共线的向量有:CF,BC,CB,BF,FB，ED,DE,AE,EA,AD,DA.(1)写出与向量FC共线的向量;(2)证明:在▱ABCD中,AD�BC.又E,F分别为AD,BC的中点,所以EDBF,所以四边形BFDE是平行四边形,所以BEFD,所以BE=FD.(2)求证:BE=FD.方法技巧共线向量的理解(1)相等向量必是共线向量,共线向量不一定是相等向量.(2)向量的共线与平行是同一概念的不同说法,它包括同向和反向两种不同的方向.(3)要证明两个向量相等常借助平行四边形,因为平行四边形的对边不但长度相同,而且方向相同或相反.(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)等腰梯形即时训练2-1:(1)若︱AB︱=︱AD︱且BA=CD,则四边形ABCD的形状为()解析:(1)因为BA=CD,所以四边形ABCD为平行四边形,又因为︱AB︱=︱AD︱,所以平行四边形ABCD为菱形.故选C.(B)两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同(C)零向量没有方向(D)任意两个单位向量都相等(2)下列说法正确的是()(A)向量AB与向量BA的长度相等解析:(2)两个有共同起点,且长度相等的向量,方向不一定相同,其终点也不一定相同;零向量的方向不确定,并不是没有方向;任意两个单位向量只有长度相等,方向不一定相等,故B,C,D都错误,A正确.故选A.向量的几何表示【例3】一辆汽车从A出发向西行驶了100km到达B点,然后改变方向向西偏北50°走了200km到达C点,又改变方向,向东行驶了100km到达D点.题型三(1)作出向量AB,BC,CD;解:(1)向量AB,BC,CD,如图所示.解:(2)由题意,易知AB与CD方向相反,故AB与CD共线.又︱AB︱=︱CD︱,所以在四边形ABCD中,ABCD,所以四边形ABCD为平行四边形,所以︱AD︱=︱BC︱=200km.(2)求︱AD︱.方法技巧(1)用向量表示的几何问题,要研究其图形的几何特性,然后作出解答.(2)作向量时,关键是找出向量的起点和终点,如果已知起点,先确定向量的方向,然后根据向量的长度找出终点.即时训练3-1:在如图的方格纸中,画出下列向量.(1)︱OA︱=3,点A在点O的正西方向;(2)︱OB︱=32,点B在点O北偏西45°方向;解:取每个方格的单位长为1,依题意,结合向量的表示可知,(1)(2)的向量如图所示.(3)求出︱AB︱的值.解:(3)由图知,△AOB是等腰直角三角形,所以︱AB︱=22OBOA=3.