2019年高考数学二轮复习 专题一 常考基础题 第2讲 复数课件 新人教A版

第2讲复数核心整合1.复数的有关概念(1)复数的定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是,虚部是.ab(2)复数的分类0,i,R0,0,00,0.bzabababbab实数复数纯虚数虚数非纯虚数(3)复数相等a+bi=c+di⇔(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数a+bi与c+di共轭⇔(a,b,c,d∈R).a=c且b=da=c且b=-d(5)复数的模向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=22ab(r≥0,a,b∈R).【温馨提示】(1)复数之间不能比较大小,复数的模可以比较大小;(2)i是虚数单位,因此虚部是b,而不是bi.2.复数的几何意义(1)复平面的概念建立来表示复数的平面叫做复平面.(2)实轴、虚轴在复平面内,x轴叫做,y轴叫做,实轴上的点都表示;除原点以外,虚轴上的点都表示.直角坐标系实轴虚轴实数纯虚数(3)复数的几何表示复数z=a+bi一一对应复平面内的点,一一对应平面向量OZ.Z(a,b)3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则:①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;③乘法:z1·z2=(a+bi)(c+di)=;④除法:12zz=iiabcd=iiiiabcdcdcd=22acbdcd+22bcadcdi(c+di≠0).(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)i(2)复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.(3)复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即对于任意z1,z2,z3∈C,有z1·z2=z2·z1,(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.z2+z1z1+(z2+z3)【归纳拓展】(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法运算关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最简形式.(2)相关运算:①(1±i)2=±2i;②1i1i=i;③1i1i=-i;④iiab=b-ai;⑤i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N).核心突破考点一复数的有关概念【例1】(1)设i是虚数单位,若复数a-103i(a∈R)是纯虚数,则a的值为()(A)-3(B)-1(C)1(D)3(2)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i是虚数单位),则z的共轭复数z为()(A)2+i(B)2-i(C)5+i(D)5-i解析:(1)因为a-103i=a-103i3i3i=(a-3)-i为纯虚数,所以a-3=0,即a=3.故选D.(2)由(z-3)(2-i)=5,得z=3+52i=52i2i2i+3=52i5+3=5+i,所以z=5-i.故选D.方法技巧(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)(组)即可;(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.【题组训练】1.设复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z=a-bi,则z-z为()D(A)实数(B)纯虚数(C)零(D)零或纯虚数解析:由题意知z-z=(a+bi)-(a-bi)=2bi,当b=0时,z-z为0;当b≠0时,z-z为纯虚数.故选D.2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a等于()(A)-3(B)-2(C)2(D)3解析:因为(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,所以a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.A3.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|等于()(A)1(B)2(C)3(D)2解析:因为(1+i)x=x+xi=1+yi,且x,y∈R,所以x=y=1,|x+yi|=|1+i|=2211=2,选B.B考点二复数代数形式的运算【例2】(1)已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)等于()(A)5-5i(B)7-5i(C)5+5i(D)7+5i解析:(1)(2+i)(3+i)=6+5i+i2=5+5i.故选C.(2)(2018·湖州模拟)设复数z满足11zz=i,则|z|等于()(A)1(B)2(C)3(D)2(3)若i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数x+yi的模是()(A)2(B)3(C)4(D)5解析:(2)因为复数z满足11zz=i,所以1+z=i-zi,所以z(1+i)=i-1,所以z=i1i1=i,所以|z|=1,故选A.(3)由已知得x+yi=3+4ii=4-3i,故|x+yi|=2243=5.故选D.方法技巧(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可;(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式;(3)利用复数相等求参数.a+bi=c+di⇔a=c,b=d(a,b,c,d∈R).【题组训练】1.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为()(A)3+5i(B)3-5i(C)-3+5i(D)-3-5iA解析:由题意知z=11+7i2i=11+7i2+i2i2+i=15+25i5=3+5i.故选A.2.复数11i(i是虚数单位)的虚部是()(A)1(B)i(C)12(D)12iC解析:因为11i=1i1i1i=12+12i.所以该复数的虚部为12.故选C.3.已知复数z=2-3i,若z是复数z的共轭复数,则z·(z+1)等于()A解析:由题意结合复数的运算法则有z(z+1)=(2-3i)(2+3i+1)=15-3i.故选A.(A)15-3i(B)15+3i(C)-15+3i(D)-15-3i考点三复数的几何意义【例3】(1)已知复数z的共轭复数z=1+2i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于()解析:(1)由共轭复数的定义知:z=1-2i,则复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,-2),位于第四象限.故选D.(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(2)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()(A)A(B)B(C)C(D)D(2)设z=-a+bi(a0,b0),则z的共轭复数z=-a-bi.它对应的点为(-a,-b),是第三象限的点,即图中的B点.故选B.方法技巧判断复数在平面内的点的位置的方法首先将复数化成a+bi(a,b∈R)的形式,其次根据实部a和虚部b的符号来确定点所在的象限.【题组训练】1.在复平面内,向量AB对应的复数是2+i,向量CB对应的复数是-1-3i,则向量CA对应的复数是()(A)1-2i(B)-1+2i(C)3+4i(D)-3-4iD解析:CA=CB+BA=-1-3i+(-2-i)=-3-4i.故选D.2.△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1,z2,z3,若复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点为△ABC的()(A)内心(B)垂心(C)重心(D)外心D解析:由几何意义知,复数z对应的点到△ABC三个顶点距离都相等,z对应的点是△ABC的外心.阅卷评析复数相等【典例】(6分)(2017·浙江卷)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.解析:(a+bi)2=a2-b2+2abi.由(a+bi)2=3+4i,得223,2.abab解得a2=4,b2=1.所以a2+b2=5,ab=2.答案:52【答题启示】(1)复数的乘法运算满足多项式乘法运算.(2)两个复数相等,也就是实部与实部相等,虚部与虚部相等.