2019年高考数学二轮复习 专题五 直线与圆、圆锥曲线 第5讲 直线与圆锥曲线的位置关系（二）课件

第5讲直线与圆锥曲线的位置关系(二)核心突破考点一圆锥曲线上点的对称问题【例1】椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=12,其中∠F1AF2的平分线所在的直线l的方程为y=2x-1.(1)求椭圆E的方程;解:(1)设椭圆E的方程为22xa+22yb=1(ab0),由题意,可得2222222231,,1,2ababcca解得4,23,2,abc所以椭圆E的方程为216x+212y=1.解:(2)法一(联立方程组)假设在椭圆上存在关于直线l对称的相异两点M(x1,y1),N(x2,y2),设线段MN的中点为P(x0,y0).因为直线MN与直线l垂直,所以设直线MN的方程为y=-12x+m,由此得x=2m-2y,将其代入椭圆方程,得4y2-6my+3m2-12=0.y1,y2是此方程的两个根,所以y1+y2=32m.所以y0=12(y1+y2)=34m.(2)在椭圆上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出,若不存在,说明理由.又点P在直线x=2m-2y上,所以x0=2m-2y0=2m,所以点P的坐标为(2m,34m).又点P在直线y=2x-1上,所以34m=2·2m-1,解得m=4,所以点P的坐标为(2,3).因为点P的坐标满足椭圆方程,所以点P在椭圆上,不在椭圆内,故不存在这样的两点.法二(点差法)假设在椭圆上存在关于直线l对称的相异两点M(x1,y1),N(x2,y2),设线段MN的中点为P(x0,y0).因为M,N两点在椭圆上,故有321x+421y=48,322x+422y=48,两式相减,得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.又P为线段MN的中点,则有x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,所以3x0(x1-x2)+4y0(y1-y2)=0.因为直线l与直线MN垂直,所以x1≠x2,所以1212yyxx=-0034xy=-12.所以3x0=2y0.①又点P(x0,y0)在直线y=2x-1上,所以y0=2x0-1.②由①②得点P的坐标为(2,3),所以点P与A重合,在椭圆上,不在椭圆内,故不存在这样的两点.方法技巧(1)圆锥曲线上有M,N两点关于直线l对称问题,可转化为三个条件:①MN⊥l;②MN的中点在直线l上;③M,N在圆锥曲线上.(2)解圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程组法(注意Δ0)和点差法两种方法.【题组训练】1.已知两定点A(-2,0)和B(2,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为()(A)2613(B)22613(C)21313(D)41313B解析:设点A关于直线l的对称点为A1(x1,y1),则有11111,223,22yxyx解得x1=-3,y1=1,则A1(-3,1),易知|PA|+|PB|的最小值等于|A1B|=26,因此椭圆C的离心率e=ABPAPB=4PAPB≤426=22613.即椭圆C的离心率的最大值为22613.2.已知椭圆22x+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+12对称.(1)求实数m的取值范围;解:(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-1mx+b.由221,21,xyyxbm消去y,得(12+21m)x2-2bmx+b2-1=0.因为直线y=-1mx+b与椭圆22x+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+24m0,①将线段AB中点M(222mbm,222mbm)代入直线方程y=mx+12,解得b=-2222mm.②由①②得m-63或m63.(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).解:(2)令t=1m∈(-62,0)∪(0,62),则|AB|=21t·422322212ttt,且O到直线AB的距离为d=22121tt.设△AOB的面积为S(t),所以S(t)=12|AB|·d=22112222t≤22.当且仅当t2=12时,等号成立.故△AOB面积的最大值为22.考点二轨迹问题【例2】在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满足MB∥OA,MA·AB=MB·BA,M点的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;解:(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=(-x,-1-y),MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).再由题意可知(MA+MB)·AB=0,即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0.所以曲线C的方程为y=14x2-2.(2)P点为曲线C上的动点,l为曲线C在P点处的切线,求O点到l距离的最小值.解:(2)设P(x0,y0)为曲线C:y=14x2-2上一点,因为y′=12x,所以l的斜率为12x0,因此直线l的方程为y-y0=12x0(x-x0),即x0x-2y+2y0-20x=0.则O点到l的距离d=2002024yxx.又y0=2014x-2,所以d=20201424xx=12(204x+2044x)≥2.当且仅当20x=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2.方法技巧求轨迹方程的常用方法(1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系f(x,y)=0.(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定待定系数.(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.(4)相关点法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程.(5)参数法:当动点P(x,y)的坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.【题组训练】1.如图,抛物线E:y2=2px(p0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上的动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;解:(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2=2px,解得p=1.(2)求动点M的轨迹方程.解:(2)由(1)知抛物线E:y2=2x,设C(212y,y1),D(222y,y2),y1≠0,y2≠0.设切线l1:y-y1=k(x-212y),代入y2=2x得ky2-2y+2y1-k21y=0,由Δ=0解得k=11y,所以l1的方程为y=11yx+12y,同理,l2的方程为y=21yx+22y.联立11221,21,2yyxyyyxy解得1212,2.2yyxyyy①因为直线CD的方程为x0x+y0y=8,其中x0,y0满足20x+20y=8,x0∈[2,22],由2002,8,yxxxyy得x0y2+2y0y-16=0,则01201202,16.yyyxyyx②由①②可得0008,,xxyyx则008,8,xxyyx代入20x+20y=8,得28x-y2=1.考虑到x0∈[2,22],则x∈[-4,-22],所以动点M的轨迹方程为28x-y2=1,x∈[-4,-22].2.已知椭圆C:22xa+22yb=1(ab0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程;解:(1)依题意得,c=5,e=ca=53,因此a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程是29x+24y=1.解:(2)若两切线的斜率均存在,设过点P(x0,y0)的切线方程是y=k(x-x0)+y0,则0022,1,94ykxxyxy解得29x+2004kxxy=1,即(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,Δ=[18k(y0-kx0)]2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0,整理得(20x-9)k2-2x0y0k+20y-4=0.(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.又所引的两条切线相互垂直,设两切线的斜率分别为k1,k2,于是有k1k2=-1,即202049yx=-1,即20x+20y=13(x0≠±3).若两切线中有一条斜率不存在,则易得003,2,xy或003,2,xy或003,2,xy或003,2,xy经检验知均满足20x+20y=13.因此,动点P(x0,y0)的轨迹方程是x2+y2=13.考点三圆锥曲线与三角函数交汇【例3】如图,已知椭圆22xa+22yb=1(ab0)的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B.若∠BAO+∠BFO=90°,则该椭圆的离心率是.解析:因为∠BAO+∠BFO=90°,所以∠BFO=∠ABO,所以tan∠BFO=tan∠ABO,即bc=ab.所以b2=ac,所以a2-c2=ac,即c2+ac-a2=0.所以(ca)2+ca-1=0,即e2+e-1=0,解得e=512或e=152(舍去),所以e=512.答案:512方法技巧解圆锥曲线与三角函数交汇问题关键是建立所求问题与三角函数的关系,把所求问题用三角函数表示或把三角函数转化为圆锥曲线参数的式子.【题组训练】1.已知双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若tan∠PF1F2=12,tan∠PF2F1=-2,则双曲线的离心率为()(A)255(B)5(C)355(D)55C解析:依题意,设点P的坐标为(x,y),因为点P在双曲线的右支上,所以x0,因为tan∠PF1F2=yxc=12,①tan∠PF2F1=-yxc=-2,②,联立①②,可解得x=53c,y=43c或y=-43c,所以P(53c,±43c),将P点坐标代入双曲线方程,又因为双曲线满足b2=c2-a2,所以22259ca-222169cca=1,整理可得25e4-50e2+9=0,由于双曲线的离心率e1,故e=355.故选C.2.α∈(0,π2),方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是.解析:标准方程为21sinx+21cosy=1,它表示焦点在y轴上的椭圆,则1cos1sin0,即sinαcosα,得α∈(π4,π2).答案:(π4,π2)阅卷评析轨迹问题【典例】(12分)已知抛物线y2=2px经过点M(2,-22),椭圆22xa+22yb=1的右焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程;解:(1)因为抛物线y2=2px经过点M(2,-22),所以(-22)2=4p,解得p=2.所以抛物线的方程为y2=4x,其焦点为F(1,0),即椭圆的右焦点为F(1,0),得c=1.又椭圆的离心率为12,所以a=2,可得b2=4-1=3,故椭圆的方程为24x+23y=1.…………………………3分(2)若P为椭圆上一个动点,Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点,OPOQ=λ(λ≠0),试求Q的轨迹.解:(2)设Q(x,y),其中x∈[-2,2],设P(x,y0),因为P为椭圆上一点,所以24x+203y=1,解得20y=3-34x2.由OPOQ=λ可得22OPOQ=λ2,故2222334xxxy=λ2,得(λ2-14)x2+λ2y2=3,x∈[-2,2].………………………6分①当λ2=14,即λ=12时,得y2=12,点Q的轨迹方程为y=±23,x∈[-2,2],此