2019年高考数学二轮复习 专题二 三角函数与解三角形 第1讲 三角恒等变换课件 新人教A版

专题二三角函数与解三角形考情概览年份题型·题号·分值题涉考点难度2018选择题·5·4分图象易填空题·13·6分解三角形中解答题·18·14分三角函数及恒等变换中2017填空题·14·6分三角形面积公式、余弦定理、同角三角函数间的基本关系中解答题·18·14分二倍角正余弦公式、两角和与差的三角函数、函数y=Asin(ωx+)的性质中填空题·10·6分二倍角公式、两角和与差的三角函数、函数y=Asin(ωx+)的性质易2016解答题·16·14分正弦定理、两角和与差的三角函数、同角三角函数间的基本关系、二倍角公式中填空题·11·6分二倍角正余弦公式、两角和与差的三角函数、函数y=Asin(ωx+)的性质易2015解答题·16·14分二倍角公式、两角和与差的三角函数、三角形面积公式、同角三角函数间关系、正弦定理中选择题·4·5分两角和与差的三角函数、函数y=Asin(ωx+)图形的平移易2014解答题·18·14分二倍角公式、正弦定理、两角和与差的三角函数、三角形面积公式、同角三角函数间的基本关系中说明2016年以前文理科题序相同时没有特别标注,题序不同时进行标注,文理只是考查难度不同,涉及知识点基本一致第1讲三角恒等变换核心整合1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R).(2)商数关系:tanα=sincos(α≠kπ+π2,k∈Z).【归纳拓展】(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sincos=tanα可以实现角α的弦切互化.(2)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.角函数2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα-cosαcosα-cosαsinα-sinα正切tanαtanα-tanα-tanα2.诱导公式对于角“π2k±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时,原函数值的符号”.【温馨提示】(1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负号—脱周期—化锐角.特别注意函数名称和符号的确定.(2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化.3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;S(α-β):sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;T(α+β):tan(α+β)=tantan1tantan;T(α-β):tan(α-β)=tantan1tantan.变形公式:tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ);sinα±cosα=2sin(α±π4).【归纳拓展】(1)运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.(2)应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.【温馨提示】在T(α+β)与T(α-β)中,α,β,α±β都不等于kπ+π2(k∈Z),即保证tanα,tanβ,tan(α+β)都有意义.4.二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α:sin2α=2sinαcosα;C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;T2α:tan2α=22tan1tan.变形公式:cos2α=1cos22;sin2α=1cos22;1+sin2α=(sinα+cosα)2;1-sin2α=(sinα-cosα)2.【归纳拓展】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:(1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式;(3)三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向.5.辅助角公式函数f(α)=acosα+bsinα(a,b为常数),可以化为f(α)=22absin(α+)或f(α)=22abcos(α-),其中可由a,b的值唯一确定.【归纳拓展】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还常常渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为y=Asin(ωx+)的形式,再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.核心突破考点一同角三角函数间的基本关系【例1】(1)若sinθ+cosθ=55,θ∈[0,π],则tanθ等于()(A)-12(B)12(C)-2(D)2解析:(1)(sinθ+cosθ)2=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=15,因此得2sinθcosθ=-450,由于θ∈[0,π],所以sinθ0,cosθ0,因此θ∈(π2,π),所以(sinθ-cosθ)2=sin2θ+cos2θ-2sinθcosθ=95,由于sinθ0,cosθ0,所以sinθ-cosθ=355,又由于sinθ+cosθ=55,所以sinθ=255,cosθ=-55,得tanθ=sincos=-2.故选C.答案:(1)C(2)已知cos(α+π4)=13,α∈(0,π2),则tan(α+π4)=.解析:(2)因为α∈(0,π2),所以α+π4∈(π4,3π4),又因为cos(α+π4)=13,所以sin(α+π4)=223,所以tan(α+π4)=πsin4πcos4=22.答案:(2)22方法技巧(1)同角也就是相同的角,同角可以是像α,β,θ等一样的角,也可是像α+π6,2β+π3,θ+π4等一样的角,在用平方关系求正弦或余弦时,都要根据角所在的范围,确定对应的余弦、正弦函数值的正负.(2)对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.【题组训练】1.若sinα=-513,且α为第四象限角,则tanα的值等于()(A)125(B)-125(C)512(D)-512解析:因为sinα=-513,且α为第四象限角,所以cosα=1213,所以tanα=sincos=-512.故选D.D2.若θ是第二象限角且sinθ=1213,则tan(θ+π4)等于()(A)-177(B)-717(C)177(D)717解析:由θ是第二象限角且sinθ=1213知cosθ=-21sin=-513,tanθ=-125.所以tan(θ+π4)=πtantan4π1tantan4=-717.故选B.B3.已知sinα-cosα=2,α∈(0,π),则tanα等于()(A)1(B)-1(C)12(D)2B解析:法一由22sincos2,sincos1,消去sinα得2cos2α+22cosα+1=0,即(2cosα+1)2=0,所以cosα=-22.又α∈(0,π),所以α=3π4,所以tanα=tan3π4=-1.法二由sinα-cosα=2,得2sin(α-π4)=2,即sin(α-π4)=1,因为α∈(0,π),所以α-π4∈(-π4,3π4),则α-π4=π2,即α=3π4,则tanα=-1.故选B.考点二诱导公式【例2】(1)求值:sin(-1200°)·cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)+tan945°;解:(1)原式=-sin1200°·cos1290°+cos1020°·(-sin1050°)+tan945°=-sin120°·cos210°+cos300°·(-sin330°)+tan225°=(-sin60°)·(-cos30°)+cos60°·sin30°+tan45°=32×32+12×12+1=2.(2)已知cos(π6-θ)=a(|a|≤1),求cos(5π6+θ)+sin(2π3-θ)的值.解:(2)由题意知,cos(5π6+θ)=cos[π-(π6-θ)]=-cos(π6-θ)=-a.sin(2π3-θ)=sin[π2+（π6-θ）]=cos(π6-θ)=a,所以cos(5π6+θ)+sin(2π3-θ)=0.方法技巧(1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负号—脱周期—化锐角.特别注意函数名称和符号的确定.(2)通过相加或相减的方法,寻求角与角之间的联系,若出现π2的倍数,则通过诱导公式化为相同的角,然后求解.【题组训练】1.sin660°等于()(A)32(B)12(C)-12(D)-32D解析:sin660°=sin(-60°+720°)=sin(-60°)=-sin60°=-32.故选D.2.化简:ππsincos22cosπ+πsinπcos2sinπ=.解析:原式=cossincos+sinsinsin=-sinα+sinα=0.答案:0考点三同角三角函数的关系与诱导公式的综合【例3】(1)在△ABC中,3sin(π2-A)=3sin(π-A),且cosA=-3cos(π-B),则C等于()(A)π3(B)π4(C)π2(D)2π3解析:(1)因为3sin(π2-A)=3sin(π-A),所以3cosA=3sinA,所以tanA=33,又0Aπ,所以A=π6.又因为cosA=-3cos(π-B),即cosA=3cosB,所以cosB=13cosπ6=12,因为0Bπ,所以B=π3,所以C=π-(A+B)=π2.故选C.答案:(1)C(2)已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线2x-y=0上,则3πsincosπ2πsinsinπ2=.解析:(2)由题意可得tanθ=2,原式=coscoscossin=21tan=2.答案:(2)2方法技巧三角形中的三角函数问题,要注意挖掘隐含条件及三角形内角和定理的应用.1.若sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sinα·cosα的值等于()(A)-25(B)-15(C)25或-25(D)25【题组训练】A解析:由sin(π-α)=-2sin(π2+α),可得sinα=-2cosα,则tanα=-2,sinα·cosα=2tan1tan=-25.故选A.2.已知sin(π+θ)+cos(π2+θ)=-23cos(2π-θ),则sinθcosθ-cos2θ等于()(A)12(B)-12(C)314(D)134C解析:由题意得,-sinθ-sinθ=-23cosθ⇒tanθ=3,因此sinθcosθ-cos2θ=222sincoscossincos=2tan1tan1=314.故选C.3.已知sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),|θ|π2,则θ等于()(A)-π6(B)-π3(C)π6(D)π3D解析:因为sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),所以-sinθ=-3cosθ,所以tanθ=3.因为|θ|π2,所以θ=π3.故选D.4.已知