2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数概念与性质 3.3 幂函数课件 新人教A版必修第一

3．3幂函数新课程标准通过具体实例，结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数的性质.知识点一幂函数的概念(一)教材梳理填空一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(二)基本知能小试1．判断正误(1)y＝－1x是幂函数．()(2)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．()答案：(1)×(2)√y＝xα2．下列函数中不是幂函数的是()A．y＝xB．y＝x3C．y＝3xD．y＝x－1解析：只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.答案：C3．已知幂函数的图象过点(2,4)，则其解析式为()A．y＝x＋2B．y＝x2C．y＝xD．y＝x3解析：设幂函数的解析式为y＝xα，当x＝2时，y＝4，故2α＝4，即α＝2.答案：B知识点二五个幂函数的图象与性质(一)教材梳理填空解析式y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝1x图象定义域_________________________值域_______________奇偶性函数函数函数函数函数RRR[0，＋∞){x|x≠0}R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇解析式y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝1x单调性在(－∞，＋∞)上单调在(－∞，0]上单调，在(0，＋∞)上单调在(－∞，＋∞)上单调在[0，＋∞)上单调在(－∞，0)上单调，在(0，＋∞)上单调定点_____递增递减递增递增递增递减递减(1,1)(二)基本知能小试1．判断正误(1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．()(2)幂函数的图象都不过第二、四象限．()(3)当幂指数α取1,3，12时，幂函数y＝xα是增函数．()(4)若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．在下列四个图形中，y＝x－12的图象大致是()解析：函数y＝x－12的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.答案：D3．设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3解析：由幂函数的性质可知A正确．答案：A题型一幂函数的概念[学透用活]幂函数解析式的结构特征(1)指数为常数．(2)底数是自变量，自变量的系数为1.(3)幂xα的系数为1.(4)只有1项．[典例1](1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a＞1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.[解析](1)由幂函数的概念可知，只有①⑥是幂函数．(2)因为f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.[答案](1)B(2)5或－1[方法技巧]求幂函数解析式的依据和常用方法(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．(2)常用方法：设幂函数解析式为f(x)＝xα，依据条件求出α.[对点练清]1．在函数y＝1x2，y＝2x3，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：因为y＝1x2＝x－2，所以是幂函数；y＝2x3由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数y＝1不是幂函数．答案：B2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x1a－2为幂函数，则a＝()A．－1或2B．－2或1C．－1D．1解析：因为f(x)＝(a2－a－1)x1a－2为幂函数，所以a2－a－1＝1，所以a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.答案：C题型二幂函数的图象及应用[学透用活][典例2]若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点－2，14在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)＜g(x)．[解]设f(x)＝xα，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(2，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．[方法技巧]解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x12或y＝x3)来判断．[对点练清]1．函数y＝x12－1的图象关于x轴对称的图象大致是()解析：y＝x12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x12－1的图象可看作由y＝x12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x12－1的图象关于x轴对称后即为选项B.答案：B2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞bD．a＞b＞d＞c解析：令a＝2，b＝12，c＝－13，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b＞c＞d.故选B.答案：B题型三利用幂函数性质比较大小[学透用活][典例3]比较下列各组数中两个数的大小．(1)250.5与130.5；(2)－23－1与－35－1；(3)3234与3432.[解](1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又2513，∴250.5130.5.(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23－35，∴－23－1－35－1.(3)∵函数y1＝x34为(0，＋∞)上的增函数，又32＞1，∴3234＞134＝1.又∵函数y2＝x32在(0，＋∞)上是增函数，且34＜1，∴3432＜132＝1，∴3234＞3432.[方法技巧]比较幂值大小关键是找到相应的幂函数，借助幂函数的单调性解题．[对点练清]1．下列不等式在a＜b＜0的条件下不能成立的是()A．a－1＞b－1B．a13＜b13C．b2＜a2D．a23-＞b23-解析：分别构造函数y＝x－1，y＝x13，y＝x2，y＝x23-，其中函数y＝x－1，y＝x2在(－∞，0)上为减函数，故A、C成立．而y＝x13，y＝x23-为(－∞，0)上的增函数，从而B成立，D不成立．答案：D2．比较下列各题中两个幂的值的大小：(1)1.112-，0.912-；(2)334-，1234.解：(1)因为y＝x12-为(0，＋∞)上的减函数，又1.1＞0.9，所以1.112-＜0.912-.(2)因为334-＝1334，函数y＝x34为[0，＋∞)上的增函数，且13＜12，所以1334＜1234，即334-＜1234.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．在函数①y＝1x，②y＝x2，③y＝3x2，④y＝x12-中，是幂函数的是()A．①②B．③④C．①②④D．①②③④解析：幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，④是α＝－12的情形，所以①②④都是幂函数；③中x2的系数是3，所以不是幂函数，所以只有①②④是幂函数．答案：C2．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点12，2，则k＋α＝()A．12B．1C．32D．2解析：∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点12，2，∴k＝1，f12＝12α＝2，即α＝－12，∴k＋α＝12.答案：A3．若y＝ax是幂函数，则该函数的值域是________．解析：由已知y＝ax是幂函数，得a＝1，所以y＝x32，所以y≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)a2＋12a2＋124．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：x112f(x)122则f(x)的单调递增区间是________．解析：因为f12＝22，所以12α＝22，即α＝12，所以f(x)＝x12，其单调递增区间是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)二、创新应用题5．已知函数f(x)＝x23.(1)求函数f(x)定义域；(2)判断函数f(x)奇偶性；(3)已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．解：(1)f(x)＝x23＝3x2，定义域为实数集R.(2)因为f(－x)＝3－x2＝3x2＝f(x)，且定义域关于坐标原点对称，所以函数f(x)＝x23是偶函数．(3)因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图象关于y轴的对称图象，即得函数f(x)＝x23的图象，如图所示．根据图象可知，函数f(x)＝x23在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数．