2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 4.5.

4.5.1函数的零点与方程的解(教师独具内容)课程标准：1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．教学重点：函数零点的概念，函数零点存在定理及其应用．教学难点：运用函数零点存在定理判断函数零点所在的区间及函数零点的个数.核心概念掌握【知识导学】知识点一函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把_________________叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的___________就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的___________注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的实数解．□01使f(x)＝0的实数x□02零点□03横坐标知识点二方程的解与函数零点的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)___________⇔函数y＝f(x)的图象与x轴___________知识点三函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条___________的曲线，且有___________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内___________零点，即存在c∈(a，b)，使得___________，这个c也就是f(x)＝0的解．□01有零点□02有公共点□01连续不断□02f(a)f(b)＜0□03至少有一个□04f(c)＝0注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．(2)若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个．【新知拓展】(1)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)0.这两个条件缺一不可．可从函数y＝1x来理解，易知f(－1)·f(1)＝－1×10，但显然y＝1x在(－1,1)内没有零点．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解C．(3)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)·f(b)0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．(4)函数零点存在定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)0.(5)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)0.()×××2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)＝x2＋3x的零点是________．(2)若函数f(x)在区间(2,5)上单调递减，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．(3)已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若f(1)0，f(1.25)0，f(1.5)0，则可以确定零点所在的区间为________．答案(1)0和－3(2)1(3)(1.25,1.5)答案核心素养形成题型一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝x2＋4x－12x－2.[解](1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)＝x2＋4x－12x－2＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.答案金版点睛求函数零点的方法函数的零点就是对应方程的解，求函数的零点常有两种方法：(1)令y＝0，解方程f(x)＝0的解就是函数的零点；(2)画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．[跟踪训练1]若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．解由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，∴f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.∴函数f(x)其余的零点是2.答案题型二判断函数零点所在的区间例2若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内[解析]∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵abc，∴f(a)0，f(b)0，f(c)0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．解析[答案]A答案金版点睛确定函数零点所在区间的方法(1)判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，看是否存在f(a)·f(b)0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)对于连续函数f(x)，若存在f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，若只有一个零点，则称此零点为变号零点，反过来，若f(a)与f(b)不变号，而是同号，即不满足f(a)·f(b)0，也不能说函数在(a，b)内无零点，如f(x)＝x2，f(－1)·f(1)＝10，但0是f(x)的零点．[跟踪训练2]根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个解所在的最小区间为________．答案(1,2)答案解析解题的关键是判断ex与x＋2的差的符号，构造函数f(x)＝ex－x－2，将求方程ex－x－2＝0的解所在的区间转化为求函数的零点问题．令f(x)＝ex－x－2，由表格中数据知f(－1)＝0.37－1＝－0.630，f(0)＝1－2＝－10，f(1)＝2.72－3＝－0.280，f(2)＝7.39－4＝3.390，f(3)＝20.09－5＝15.090，由于f(1)·f(2)0，所以根据表格可知，解所在的最小区间为(1,2).答案题型三判断函数零点的个数例3f(x)＝x＋2，x0，x2－1，x0的零点个数是()A．0B．1C．2D．3[解析]解法一：方程x＋2＝0(x0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点：－2与1.解法二：画出函数f(x)＝x＋2，x0，x2－1，x0的图象，如图所示，观察图象可知，f(x)的图象与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．解析[答案]C答案金版点睛判断函数零点个数的方法(1)直接求出函数的零点进行判断．(2)结合函数图象进行判断．(3)借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．[跟踪训练3]已知0a1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为()A．1B．2C．3D．4答案B答案解析函数y＝a|x|－|logax|(0a1)的零点的个数即方程a|x|＝|logax|(0a1)的解的个数，也就是函数f(x)＝a|x|(0a1)与g(x)＝|logax|(0a1)的图象的交点的个数．画出函数f(x)＝a|x|(0a1)与g(x)＝|logax|(0a1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)＝a|x|(0a1)与g(x)＝|logax|(0a1)的图象的交点的个数为2，从而函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为2.答案题型四函数零点的应用例4已知关于x的方程x2－2ax＋4＝0，在下列条件下，求实数a的取值范围．(1)一个根大于1，一个根小于1；(2)一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内．[解](1)方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，设f(x)＝x2－2ax＋4，结合二次函数的图象与性质及零点存在定理得f(1)＝5－2a0，解得a52.答案(2)方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的图象与性质及零点存在定理，得f0＝40，f1＝5－2a0，f6＝40－12a0，f8＝68－16a0，解得103a174.答案金版点睛解决根的分布问题的注意事项及方法(1)解决有关根的分布问题应注意以下几点：①首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．②结合草图考虑四个方面：A．Δ与0的大小；B．对称轴与所给端点值的关系；C．端点的函数值与零的关系；D．开口方向．③写出由题意得到的不等式并检验条件的完备性．(2)解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．[跟踪训练4]函数f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在区间－12，12内有零点，则实数a的取值范围为________．答案(－∞，0]答案解析当x＝0时，f(0)＝1≠0，当x≠0时，由f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得a＝－1x2＋2x＝－1x－12＋1.若f(x)在－12，12内有零点，则f(x)＝0在区间－12，12内有解，当－12≤x0或0x≤12时，可得a＝－1x2＋2x＝－1x－12＋1，由1x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，可求得a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]．解析随堂水平达标1．函数y＝4x－2的零点是()A．2B．(－2,0)C．12，0D．12解析令y＝4x－2＝0，得x＝12.∴函数y＝4x－2的零点为12.解析答案D答案2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析因为函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，又f(－2)＝e－2－40，f(－1)＝e－1－30，f(0)＝－10，f(1)＝e－10，f(2)＝e20，所以f(0)·f(1)0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．解析答案C答案3．方程x3－x－1＝0在[1,1.5]上的实数解有()A．3个B．2个C．至少1个D．0个解析令f(x)＝x3－x－1，则f(1)＝－10，f(1.5)＝1.53－1.5－1＝1.53－2.50，故选C．解析答案C答案4．已知函数f(x)的图象是不间断的，且有如下的x，f(x)对应值表：则函数f(x)在区间[－2,2]内的零点个数至少为__________．解析由f(－2)·f(－1.5