2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.1 指数 4.1.1 n次方根

4.1.1n次方根与分数指数幂(教师独具内容)课程标准：1.理解根式的定义和性质、分数指数幂的定义.2.把握分式与负整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系．教学重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系．教学难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.nan与(na)n的区别与联系．核心概念掌握【知识导学】知识点一根式的定义(1)a的n次方根的定义：.(2)a的n次方根的表示①当n是奇数时，；②当n是偶数时，．□01一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*□02a的n次方根表示为na，a∈R□03a的n次方根表示为±na，其中－na表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)(3)根式：．知识点二根式的性质(1)(na)n＝．(2)nan＝.□04式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数□01a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n＞1)□02an为奇数，且n＞1，|a|n为偶数，且n＞1知识点三分数指数幂的意义(1)amn＝，a－mn＝1amn＝．(2)0的正分数指数幂等于0的负分数指数幂□01nam□021nam(其中a0，m，n∈N*，且n1)□030□04没有意义知识点四有理数指数幂的运算性质(1)aras＝(a0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝(a0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝(a0，b0，r∈Q)．□01ar＋s□02ars□03arbr【新知拓展】1.nan与(na)n的区别(1)nan是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.2.分数指数幂的理解(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂amn不可理解为mn个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．(2)把根式nam化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn进行约分．3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5)23＝3－52有意义，但(－5)34＝4－53就没有意义．1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为32＝9，所以3是9的平方根．()(2)当n∈N*时，(n－16)n都有意义．()(3)3－π2＝π－3.()答案(1)√(2)×(3)√答案2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)用根式的形式表示下列各式(a0)：①a15＝________；②a34＝________；③a－35＝________；④a－23＝________.(2)将下列根式写成分数指数幂的形式(其中ab0)．①5a－b7＝________；②4a2－b23＝________；③4a2b－ab2＝________；④4a2－b22＝________.(3)若n为偶数时，nx－1n＝x－1，则x的取值范围为________．答案(1)①5a②4a3③15a3④13a2(2)①(a－b)75②(a2－b2)34③(a2b－ab2)14④(a2－b2)24(3)x≥1答案核心素养形成题型一根式的概念利用根式的性质化简例1(1)①16的平方根为________，－27的5次方根为________；②已知x7＝6，则x＝________；③若4x－2有意义，则实数x的取值范围是________；(2)化简：①nx－πn(xπ，n∈N*)；②4a2－4a＋1a≤12.[解析](1)①∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.②∵x7＝6，∴x＝76.③要使4x－2有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．(2)①∵xπ，∴x－π0，当n为偶数时，nx－πn＝|x－π|＝π－x；解析当n为奇数时，nx－πn＝x－π.综上，nx－πn＝π－x，n为偶数，n∈N*，x－π，n为奇数，n∈N*.②∵a≤12，∴1－2a≥0，∴4a2－4a＋1＝2a－12＝|2a－1|＝1－2a.解析[答案](1)①±45－27②76③[2，＋∞)(2)见解析答案金版点睛1.判断关于n次方根的结论应关注的两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．2.根式化简求值解题思路解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答.[跟踪训练1](1)下列说法正确的个数是()①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．A.1B．2C．3D．4(2)已知m10＝2，则m等于()A.102B．－102C.210D．±102(3)化简下列各式：①3－27；②(3－9)3；③a－b2.解析(1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，③④正确．(2)∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数，∴m＝±102.解析答案(1)B(2)D(3)见解析答案(3)①3－27＝3－33＝－3.②(3－9)3＝－9.③a－b2＝|a－b|＝a－ba≥b，b－aab.解析题型二根式与分数指数幂的互化例2下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是()A.－4x＝(－x)14(x0)B.x－15＝－5x(x≠0)C.xy－34＝4yx3(xy0)D.8y2＝y14[解析]对于A，－4x＝－x14，所以A错误；对于B，x－15＝15x，所以B错误；对于C，xy－34＝4yx3(xy0)，所以C正确；对于D，8y2＝|y|14，所以D错误．解析[答案]C答案金版点睛根式与分数指数幂互化依据(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：amn＝nam和a－mn＝1amn＝1nam，其中字母a要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂.[跟踪训练2]用分数指数幂表示下列各式：(1)3ab2ab3(a0，b0)；(2)13x5x22(x0)．答案题型三多重根式的化简例3化简：3＋22＋3－22.[解]解法一：原式＝22＋22＋1＋22－22＋1＝2＋12＋2－12＝2＋1＋2－1＝22.解法二：令x＝3＋22＋3－22，两边平方得x2＝6＋29－8＝8.因为x0，所以x＝22.答案金版点睛形如m±2n(m0，n0)的双重根式，一般是将其转化为a±b2的形式后再化简．由于(a±b)2＝a＋b±2ab，因此转化的方法就是寻找a，b，使得a＋b＝m，ab＝n，即a，b是方程x2－mx＋n＝0的两个根．如化简2－3，首先化为m－2n的形式，即4－232，解方程x2－4x＋3＝0，得x＝3或x＝1，则4－23＝(3－1)2，所以2－3＝4－232＝3－122＝3－12＝6－22.[跟踪训练3]化简：5＋26－6－42＋7－43.解原式＝3＋22－2－22＋2－32＝3＋2－(2－2)＋2－3＝22.答案随堂水平达标1.已知x5＝6，则x等于()A.6B.56C．－56D．±56解析由根式的定义知，x5＝6，x＝56，选B.解析答案B答案2.下列各式正确的是()A.－32＝－3B.4a4＝aC.22＝2D.3－23＝2解析由于－32＝3，4a4＝|a|，3－23＝－2，故A，B，D错误.解析答案C答案3.若64a2－4a＋1＝31－2a，则实数a的取值范围是()A.(－∞，2)B.12，＋∞C.12，＋∞D.－∞，12解析∵64a2－4a＋1＝62a－12＝61－2a2＝31－2a，∴1－2a≥0，即a≤12.解析答案D答案4.计算下列各式的值：(1)3－53＝__________；(2)设b0，则(－b)2＝__________.解析(1)3－53＝－353＝－5.(2)∵b0，∴－b0，∴(－b)2＝－b.解析答案(1)－5(2)－b答案5.计算：e＋e－12－4＋e－e－12＋4(e≈2.7)．解原式＝e2＋2＋e－2－4＋e2－2＋e－2＋4＝e－e－12＋e＋e－12＝e－e－1＋e＋e－1＝2e≈5.4.答案本课结束