2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 3.2.1

课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])，则函数的最大值为()A．0.4B．1C．2D．2.5解析∵函数f(x)＝2x－1在[2,6]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝22－1＝2.解析答案C答案2．函数f(x)＝2x＋6，x∈[1，2]，x＋7，x∈[－1，1，则f(x)的最大值、最小值分别为()A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对解析当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x1时，6≤x＋7＜8.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.解析答案A答案3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[0,2]C．(－∞，2]D．[1,2]解析由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y的最小值为2，当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.解析答案D答案4．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)解析令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a0.解析答案C答案5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．－1B．0C．1D．2解析因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图象的对称轴为x＝2.又因为函数图象开口向下，所以f(x)在[0,1]上单调递增．又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.解析答案C答案二、填空题6．设函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上单调递减，在区间[－2,6]上单调递增，且f(－4)f(6)，则函数f(x)的最小值是________，最大值是________．答案f(－2)f(6)答案解析函数y＝f(x)在[－4,6]上的图象的变化趋势大致如图所示，观察可知f(x)min＝f(－2)．又由题意可知f(－4)f(6)，故f(x)max＝f(6)．解析7．函数f(x)＝1x在[1，b](b1)上的最小值是14，则b＝________.解析因为f(x)＝1x在[1，b]上单调递减，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝1b＝14，所以b＝4.解析答案4答案8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为______(m)．答案20答案解析设矩形花园的宽为ym，则x40＝40－y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，面积最大．解析三、解答题9．求下列函数的最值．(1)函数y＝x＋x－1(x≥1)的最小值；(2)函数y＝2x2－2x＋3x2－x＋1的最大值．解(1)解法一：令t＝x－1，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝t＋122＋34，又因为t≥0，所以y≥14＋34＝1.故函数y＝x＋x－1的最小值为1.答案解法二：因为函数y＝x和y＝x－1(x≥1)均为增函数，故函数y＝x＋x－1(x≥1)为增函数，所以当x＝1时y取得最小值，即ymin＝1.(2)y＝2x2－2x＋3x2－x＋1＝2x2－x＋1＋1x2－x＋1＝2＋1x2－x＋1＝2＋1x－122＋34.因为x－122＋34≥34，所以22＋1x－122＋34≤2＋43＝103.故函数的最大值为103.答案10．已知函数f(x)＝ax＋1a(1－x)(a0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．解f(x)＝a－1ax＋1a，当a1时，a－1a0，此时f(x)在[0,1]上单调递增，∴g(a)＝f(0)＝1a；当0a1时，a－1a0，此时f(x)在[0,1]上单调递减，∴g(a)＝f(1)＝a；答案当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.∴g(a)＝a，0a1，1a，a≥1，∴g(a)在(0,1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，又a＝1时，有a＝1a＝1，∴当a＝1时，g(a)取最大值1.答案B级：“四能”提升训练1．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上单调递减；(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．解(1)证明：∀x1，x2∈R，且x1x2，则x2－x10，因为x0时，f(x)0，所以f(x2－x1)0.又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)0，所以f(x2)f(x1)．所以f(x)在R上单调递减．答案(2)由(1)可知f(x)在R上单调递减，所以f(x)在[－3,3]上也单调递减，所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×－23＝－2.所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.答案2．某公司生产某种产品投入固定资金20万元，以后生产x万件产品需再投入可变资金a(x2－1)万元，收入为R(x)万元，其中R(x)＝160x－3.8x2－1480.2.已知当生产10万件产品时，投入生产资金可达到39.8万元．(1)判断生产每件产品所需可变资金函数的单调性；(2)求计划生产多少件产品时，利润最大？最大利润是多少万元？解(1)生产x万件产品所投入资金共有y＝20＋a(x2－1)万元，当x＝10时，y＝39.8，解得a＝0.2.生产每件产品所需可变资金函数为f(x)＝110000×ax－1x＝110000×0.2x－1x，设x1x20，则f(x1)－f(x2)＝110000×0.2x1－1x1－110000×0.2x2－1x2＝110000×0.2(x1－x2)－110000×0.21x1－1x2答案＝110000×0.2x1－x2＋x1－x2x1x2＝110000×0.2(x1－x2)1＋1x1x2，因为x1x20，所以110000×0.2(x1－x2)1＋1x1x20，故生产每件产品所需可变资金函数f(x)＝110000×0.2x－1x为单调递增函数．答案(2)设利润为L(x)万元，则L(x)＝R(x)－20－0.2(x2－1)＝160x－3.8x2－1480.2－20－0.2(x2－1)＝160x－4x2－1500＝－4(x－20)2＋100，所以当生产20万件产品时利润最大，最大利润为100万元．答案本课结束