2019-2020学年高中数学 第一章 推理与证明 1 归纳与类比课件 北师大版选修2-2

§1归纳与类比知识点一归纳推理一、预习教材·问题导入问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？提示：都能导电．问题2：由问题1你能得出什么结论？问题3：若数列{an}的前四项为2,4,6,8，试写出an.问题4：上面问题2、3得出结论有何特点？提示：一切金属都能导电．提示：an＝2n(n∈N＋)．提示：都是由几个特殊事例得出一般结论．二、归纳总结·核心必记1．归纳推理的定义及特征定义特征根据一类事物中具有某种属性，推断该类事物中__________都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理归纳推理是由到，由到____的推理部分事物每一个事物部分整体个别一般2．归纳推理的特点(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．三、综合迁移·素养培优1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．()(2)由个别到一般的推理为归纳推理．()√√2．观察下列不等式：1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，……照此规律，第五个不等式为()A．1＋122＋132＋142＋15295B．1＋122＋132＋142＋152116C．1＋122＋132＋142＋152＋16295D．1＋122＋132＋142＋152＋162116答案：D3．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案：A4．数列5,9,17,33，x，…中的x等于________．答案：65一、预习教材·问题导入问题1：试写出三角形的两个性质．提示：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的12.问题2：你能由三角形的性质推测空间四面体的性质吗？试写出来．提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题3：试想由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么．提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．二、归纳总结·核心必记1．类比推理的定义及特征定义特征由于两类不同对象具有某些，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有，把这种推理过程称为类比推理类比推理是_______________之间的推理类似的特征类似的其他特征两类事物特征2．类比推理的特点(1)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象；(2)如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠；(3)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理不能作为数学证明的工具．三、综合迁移·素养培优1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝底×高2，可推知扇形的面积S扇＝()A.r22B.l22C.lr2D．不可类比答案：C2．由“若a＞b，则a＋c＞b＋c”得到“若a＞b，则ac＞bc”采用的是()A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．数学证明答案：C3．已知{bn}为等比数列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a1＋a2＋…＋a9＝2×9.答案：D知识点三合情推理与演绎推理1．合情推理的含义(1)合情推理是根据、、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)和是最常见的合情推理．2．演绎推理的含义演绎推理是根据和，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．实验和实践的结果个人的经验和直觉归纳推理类比推理已知的事实正确的结论考点一数与式的归纳[典例](1)已知下列各式：112，1＋12＋131，1＋12＋13＋14＋15＋16＋1732，1＋12＋13＋…＋1152，…，请你归纳出一般性结论：______________.(2)已知f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．[解析](1)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增大1，且终止项为2n－1，不等式右边依次为12，22，32，42，…，从而归纳得出一般结论：1＋12＋13＋…＋12n－1n2.(2)∵f(x)＝x1－x，∴f1(x)＝x1－x.又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，f3(x)＝f2(f2(x))＝x1－2x1－2×x1－2x＝x1－4x，f4(x)＝f3(f3(x))＝x1－4x1－4×x1－4x＝x1－8x，f5(x)＝f4(f4(x))＝x1－8x1－8×x1－8x＝x1－16x，∴根据前几项可以猜想fn(x)＝x1－2n－1x.[答案](1)1＋12＋13＋…＋12n－1n2(2)f3(x)＝x1－4xfn(x)＝x1－2n－1x[类题通法]1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论．2．数列中进行归纳推理的方法在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．[针对训练]1．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，….猜想第n(n∈N*)个等式应为()A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10解析：9×0＋1＝1＝10－9,9×1＋2＝11＝10×2－9，9×2＋3＝21＝10×3－9,9×3＋4＝31＝10×4－9，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为9(n－1)＋n＝10n－9，故选B.答案：B2．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋1x≥2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3，x＋27x3＝x3＋x3＋x3＋27x3≥4，……归纳得：x＋axn≥n＋1(n∈N＋)，则a＝________.解析：当n＝1时，a＝1，当n＝2时，a＝4＝22，当n＝3时，a＝27＝33，…∴当分母指数取n时，a＝nn.答案：nn3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an1＋2an(n＝1,2,3，…)．(1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想数列{an}的通项公式．解：(1)当n＝1时，a1＝1，由an＋1＝an1＋2an(n∈N＋)，得a2＝13，a3＝a21＋2a2＝15，a4＝a31＋2a3＝17.(2)由a1＝1＝11，a2＝13，a3＝15，a4＝17，可归纳猜想an＝12n－1(n∈N＋)．考点二图与形的归纳[典例]某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图①②③④所示为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1f1＋1f2－1＋1f3－1＋…＋1fn－1的值．[解](1)f(5)＝41.(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……由上式规律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(n＋1)＝f(n)＋4n，f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.(3)当n≥2时，1fn－1＝12nn－1＝121n－1－1n，∴1f1＋1f2－1＋1f3－1＋…＋1fn－1＝1＋1211－12＋1212－13＋…＋121n－1－1n＝1＋121－1n＝32－12n.[类题通法]利用归纳推理解决几何问题的两个策略(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式．(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式．[针对训练]1．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26B．31C．32D．36解析：有菱形纹的正六边形个数如下表：答案：B图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为an＝6n＋2.答案：C3．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝____________；当n4时，f(n)＝______________.(用含n的数学表达式表示)解析：画图可知，f(4)＝5，当n4时，可得递推式f(n)－f(n－1)＝n－1，由f(n)－f(n－1)＝n－1，f(n－1)－f(n－2)＝n－2，…f(4)－f(3)＝3，叠加可得，f(n)－f(3)＝12(n＋2)(n－3)，又f(3)＝2，所以f(n)＝12(n＋2)(n－3)＋2，化简整理得f(n)＝12(n－2)(n＋1)．答案：512(n－2)(n＋1)考点三几何图形的类比[典例]找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质．(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦；(2)与圆心距离相等的两弦长相等；(3)圆的周长C＝πd(d是直径)；(4)圆的面积S＝πr2.[解]圆与球有下列相似的性质：(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.圆球圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面的面积相等圆的周长C＝πd球的表面积S＝πd2圆的面积S＝πr2球的体积V＝43πr3[类题通法]解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形立体图形点点、线直线直线、