2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件 新人教A

1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象目标导航课标要求1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历,并会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象.2.利用正、余弦函数图象解决一些有关问题.3.正、余弦函数图象的区别与联系.素养达成1.通过对“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象,培养学生直观想象、数学运算的能力.2.利用正、余弦函数图象解决问题的过程,加强学生数学运算和数据分析的核心素养.新知导学课堂探究新知导学·素养养成正弦函数、余弦函数的图象函数y=sinxy=cosx图象图象名称正弦函数y=sinx,x∈R的图象叫做.余弦函数y=cosx,x∈R的图象叫做.正弦曲线余弦曲线几何法先利用单位圆中的线作y=sinx,x∈[0,2π]的图象,然后将其向、平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象.先利用单位圆中的线作y=cosx,x∈[0,2π]的图象,然后将其向、平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象.图象画法五点法,(π2,1),,(3π2,-1),,(π2,0),,(3π2,0),左正弦右余弦左右(0,0)(π,0)(2π,0)(0,1)(π,-1)(2π,1)思考1:根据y=sinx和y=cosx的关系,你能利用y=sinx,x∈R的图象得到y=cosx,x∈R的图象吗?提示:能,根据cosx=sin(π2+x)只需把y=sinx,x∈R的图象向左平移π2个单位长度,即可得到y=cosx,x∈R的图象.思考2:利用五点法作出函数y=sin(-x)的图象,“五点”应取哪几个?提示:分别令-x=0,π2,π,3π2,2π,求出相应的纵坐标即得“五点”.课堂探究·素养提升题型一正弦曲线、余弦曲线的图象特征[例1](1)下列叙述正确的是()①y=sinx,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称;②y=cosx,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称;③正、余弦曲线都不超过两直线y=1和y=-1所夹的范围.(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:(1)分别画出函数y=sinx,x∈[0,2π]和y=cosx,x∈[0,2π]的图象,由图象观察可知①②③均正确.故选D.(2)对于余弦函数y=cosx的图象,有以下三项描述:①向左向右无限延伸;②与x轴有无数多个交点;③与y=sinx的图象形状一样,只是位置不同.其中正确的有()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:(2)画出y=cosx的图象.可知三项描述均正确.故选D.方法技巧(1)解决正、余弦函数的图象问题,关键是要正确的画出正、余弦曲线.(2)正、余弦曲线的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.即时训练1-1:关于三角函数的图象,有下列说法:①y=sin|x|与y=sinx的图象关于y轴对称;②y=cos(-x)与y=cos|x|的图象相同;③y=|sinx|与y=sin(-x)的图象关于x轴对称;④y=cosx与y=cos(-x)的图象关于y轴对称;其中正确的序号是.解析:对②,y=cos(-x)=cosx,y=cos|x|=cosx,故其图象相同;对④,y=cos(-x)=cosx,故其图象关于y轴对称,由作图可知①③均不正确.答案:②④[备用例1]以下对于正弦函数y=sinx的图象描述不正确的是()(A)在x∈[2kπ,2kπ+2π],k∈Z上的图象形状相同,只是位置不同(B)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线(C)关于x轴对称(D)与y轴仅有一个交点π2解析:由y=sinx图象知,选项C不正确.故选C.解:(1)列表:x0π2π3π22πsinx010-10-sinx0-1010描点作图,如图.题型二用“五点法”作三角函数的图象[例2]用“五点法”作出下列函数的简图:(1)y=-sinx(0≤x≤2π);解:(2)列表:x0π2π3π22πcosx10-1011+cosx21012描点作图,如图.(2)y=1+cosx(0≤x≤2π).方法技巧(1)“五点法”是作三角函数图象的常用方法,“五点”即函数图象的最高点、最低点、与x轴的交点.(2)列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节,注意用光滑的曲线连接五个关键点.解:列表:x0π2π3π22πsinx010-101+2sinx131-11在直角坐标系中描出五点(0,1),(π2,3),(π,1),(3π2,-1),(2π,1),然后用光滑曲线顺次连接起来,就得到y=1+2sinx,x∈[0,2π]的图象.即时训练2-1:用“五点法”作出函数y=1+2sinx,x∈[0,2π]的简图.解:按五个关键点列表:x0π2π3π22π2sinx020-20描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.[备用例2]用“五点法”画出函数y=2sinx,x∈[0,2π]的图象.题型三正弦(余弦)函数图象的应用[例3]写出不等式sinx≥的解集.解:法一在同一坐标系下,作函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象以及直线y=12.由函数的图象知sinπ6=sin56π=12.所以当0≤x≤2π时,sinx≥12的解为π6≤x≤56π,所以不等式sinx≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6,k∈Z}.12法二易知y=sinx≥12,如图,所以不等式的解集是{x|π6+2kπ≤x≤5π6+2kπ,k∈Z}.方法技巧1.用三角函数的图象解sinxa(或cosxa)的方法:(1)作出直线y=a,y=sinx(或y=cosx)的图象;(2)确定sinx=a(或cosx=a)的x值;(3)选取一个合适周期写出sinxa(或cosxa)的解集,要尽量使解集为一个连续区间.2.用三角函数线解sinxa(或cosxa)的方法:(1)找出使sinx=a(或cosx=a)的两个x值的终边所在位置.(2)根据变化趋势,确定不等式的解集.即时训练3-1:(2018·台州市高一期中)在[0,2π)内满足cosx≥-32的x的取值范围为()(A)[0,56π]∪[76π,2π)(B)[-56π,56π](C)[56π,76π](D)[0,43π]∪[53π,2π)解析:若cosx≥-32,则x∈[-5π6+2kπ,5π6+2kπ](k∈Z),又因为x∈[0,2π),所以x的取值范围是x∈[0,5π6]∪[7π6,2π).故选A.[备用例3]在[0,2π]内,使sinxcosx成立的x值的取值范围是()(A)(π4,π2)∪(π,5π4)(B)(π4,π)(C)(π4,5π4)(D)(π4,π)∪(5π4,3π2)解析:用“五点法”在同一坐标系中作出函数y=sinx与y=cosx(0≤x≤2π)的图象,如图.由图象可知(1)当x=π4或x=5π4时,sinx=cosx.(2)当π4x5π4时,sinxcosx.(3)当0≤xπ4或5π4x≤2π时,sinxcosx.故选C.题型四易错辨析[例4]方程lgx=sinx的解的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3错解:建立坐标系xOy,画出得到y=sinx的图象,再画出y=lgx,如图所示,由图象可知方程sinx=lgx的解有1个.纠错:画图不规范,特别是画y=lgx的图象,在y=1的界线处不明确,导致做题错误.正解:建立坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,再依次向左、右连续平移(每次2π个单位),得到y=sinx的图象.描出点(,-1),(1,0),(10,1)并用光滑曲线连接得到y=lgx的图象,如图所示.由图象可知方程sinx=lgx的解有3个.110答案:3课堂达标(A)x轴(B)y轴(C)直线x=π2(D)直线x=πC解析:由y=sinx,x∈R的图象知,直线x=π2为其一条对称轴.1.正弦函数y=sinx,x∈R的图象的一条对称轴是()B2.在同一坐标系中,函数y=sinx,x∈[0,2π)与y=sinx,x∈[2π,4π)的图象()(A)重合(B)形状相同,位置不同(C)关于y轴对称(D)形状不同,位置不同解析:观察正弦函数y=sinx的图象知B正确.3.若sinx=2m+1且x∈R,则m的取值范围是.解析:由正弦函数图象可知,-1≤sinx≤1,即-1≤2m+1≤1,解得-1≤m≤0.答案:[-1,0]解析:结合余弦函数的图象可知,要使cosx0,则π2x3π2.4.不等式cosx0,x∈[0,2π]的解集为.答案:(π2,3π2)