2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理和余弦定理 第2课时 正弦定理

1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第2课时正弦定理目标定位重点难点1.掌握三角形面积的求解公式．2．灵活运用正弦定理解三角形.重点：运用正弦定理解三角形．难点：三角形面积的求解公式.1．三角形的面积公式S△ABC＝________＝12acsinB＝12bcsinA.12absinC2．正弦定理的变式应用(1)a∶b∶c＝______________________.(2)边化角公式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．(3)角化边公式：sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.(4)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．sinA∶sinB∶sinC1．在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理及acosA＝bcosB＝ccosC，可得sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，即tanA＝tanB＝tanC，所以A＝B＝C，故△ABC是等边三角形．2．在△ABC中，已知AB＝43，AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的面积是()A．43B．83C．43或83D．3【答案】C【解析】在△ABC中，由正弦定理可得sinC＝ABsinBAC＝32，∴C＝120°或60°.当C＝120°时，A＝30°，△ABC的面积为12AB·AC·sinA＝12×43×4×12＝43；当C＝60°时，A＝90°，△ABC的面积为12×AB·AC＝12×43×4＝83.故选C．3．在△ABC中，A＝60°，a＝13，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC等于()A．833B．2393C．2633D．23【答案】B【解析】设△ABC外接圆半径为R，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R＝asinA＝13sin60°＝2393.4．若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则AB＝________.【答案】2【解析】∵S△ABC＝3，BC＝2，C＝60°，∴3＝12×2×AC·32，解得AC＝2，∴△ABC为正三角形，∴AB＝2.【例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝4，sinC＝2sinA，sinB＝154，则S△ABC＝________.【解题探究】本题由已知条件可求出边a，c的关系，再利用三角形面积公式求解．运用正弦定理求有关三角形的面积问题【答案】15【解析】∵sinC＝2sinA，由正弦定理可得c＝2a.∵c＝4，∴a＝2，∴S△ABC＝12acsinB＝12×2×4×154＝15.【温馨提示】三角形的面积公式在求解与三角形面积有关的问题中的作用是非常重要的，要熟练掌握．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝22且C＝π4，则△ABC的面积为()A．3＋1B．3－1C．4D．2【答案】A【解析】由正弦定理bsinB＝csinC⇒sinB＝bsinCc＝12，又c＞b，且B∈(0，π)，所以B＝π6，所以A＝7π12，则sinA＝sin7π12＝sinπ3＋π4＝sinπ3cosπ4＋cosπ3sinπ4＝6＋24.所以S＝12bcsinA＝12×2×22×6＋24＝3＋1.故选A．【例2】在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．【解题探究】观察条件等式的特点，为边角关系，首先应用正弦定理将边化为角，再利用三角公式求解，亦可应用正弦定理将角化为边的关系进行整理．判断三角形的形状【解析】由已知，得a2sinBcosB＝b2sinAcosA.由正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆半径)，得4R2sin2AsinBcosB＝4R2sin2BsinAcosA.∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B．∵2A∈(0,2π)，2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．【温馨提示】已知三角形中的边和角的“混合”关系等式，判断三角形的形状时，有两种方法：(1)化边的关系为角的关系，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；(2)化角的关系为边的关系，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式．(2019年浙江温州期末)在△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosB＝cosC，角A是锐角，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】D【解析】由3b＝23asinB，得bsinB＝23a3.由正弦定理bsinB＝asinA，得asinA＝23a3，即sinA＝32.又角A是锐角，所以A＝60°.又cosB＝cosC，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C．故△ABC为等边三角形．忽视三角形中角的限制导致出错【示例】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断三角形的形状．【错解】由已知得(a2＋b2)·(sinAcosB－cosAsinB)＝(a2－b2)·(sinAcosB＋cosAsinB)，化简得a2cosAsinB＝b2sinAcosB，由正弦定理得sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，即sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B，所以2A＝2B，即A＝B，故三角形是等腰三角形．【错因分析】当两个角的三角函数值相等时，并不能肯定这两个角一定相等，一定要根据两个角的取值范围结合诱导公式写出所有的情况．此题由sin2A＝sin2B只得出2A＝2B而漏掉2A＝π－2B的情况出错．【正解】易得sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．【点评】根据正弦定理判断三角形形状时通常是将已知条件转换成只含边或角的式子．特别注意转化为角来解决时，不要忽视角的范围．灵活运用诱导公式是解三角形的关键．1．已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的面积，解题的一般方法是利用正弦定理求出另一条边的对角，然后再用面积公式求解．2．已知三角形中的边和角的“混合”关系等式，判断三角形的形状时，有两种方法：(1)化边的关系为角的关系；(2)化角的关系为边的关系．1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】B【解析】∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A．又sinA＞0，∴sinA＝1，∴A＝π2，故△ABC为直角三角形．2．已知△ABC的面积为32且b＝2，c＝3，则sinA＝()A．32B．12C．34D．3【答案】A【解析】因为△ABC的面积为32且b＝2，c＝3，所以S＝12bcsinA＝12×2×3sinA＝32.所以sinA＝32.故选A．3．已知△ABC外接圆半径是2cm，∠A＝60°，则BC边长为__________．【答案】23cm【解析】∵BCsinA＝2R，∴BC＝2RsinA＝4sin60°＝23(cm)．4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝________.【答案】1【解析】在△ABC中，∵sinB＝12，0Bπ，∴B＝π6或B＝5π6.又∵B＋Cπ，C＝π6，∴B＝π6，A＝π－π6－π6＝2π3.∵asinA＝bsinB，∴b＝asinBsinA＝1.