2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理章末归纳整合课件 新人教A版选修2-3

章末归纳整合解排列组合应用题时，应注意以下几点：①合理分类，准确分步；②特殊优先，一般在后；③直接排除，灵活选择；④集团捆绑，间隔插空；⑤繁琐问题，递推策略；⑥复杂问题，构造模型．排列与组合的解法灵活多变，选择适当的思想方法，能使一些看似复杂的问题迎刃而解．计数问题中的思想方法【例1】从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样的不同三位数共有________个．(用数字作答)解：分三类，①没有数字1和3时，有A34个；②只有1和3中的一个时，有2A24个；③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的一个即可，有C14·C13个．所以满足条件的三位数共有A34＋2A24＋C14·C13＝60个．方法点评：解答中“没有数字1和3”的这一类容易被遗漏，对于每一类还要注意分步．要掌握一些常见题型的解题技能．1．某单位有三个科室，为实现减负增效，每科室抽调2人去参加再就业培训，培训后这6人中有2人返回原单位，但不回到原科室工作且每科室至多安排1人，问共有多少种不同的安排方法？【解析】6人中有2人返回原单位，可分两类，(1)2人来自同科室：C13C12＝6种；(2)2人来自不同科室：C23C12C12，然后2人分别到科室，但不回原科室有3种方法，故有C23C12C12·3＝36(种)，由加法原理，共有6＋36＝42种方法．【例2】停车场一排有12个空位，如今要停放7辆不同的车，要求恰好有4个空位连在一起，求共有多少种停法？解：将4个连在一起的空位看成一个整体，由于另一个空位不能与这个整体相连，则可把这两个元素插在7辆车之间，共有A28种方法；而7辆车共有A77种排法，因此共有A28·A77＝282240种不同停法．方法点评：“相邻问题”又叫“集团问题”，采用“捆绑法”，即先将几个相邻元素看作一个整体，将此整体与其他元素进行排列，然后整体内部全排列．2．如图所示，某城市M，N两地间有4条东西街道和6条南北街道．若规定只能向东或向北沿图中路线行走，则从M到N有________种不同的走法．(用数字作答)【答案】56【解析】从M点走到N点，每次只能向北或向东走，则不论从M到N怎样走，都必须向北走3次，向东走5次，共走8次，每一次是向北还是向东，就决定了不同的走法，当把向北的步骤决定后，剩下的步骤只能向东，共有C38＝56种不同的走法．求二项式的展开式中的特定项时，一般先写出其通项公式，然后由条件确定该特定项的系数．求展开式中各项系数的和或差时，常用赋值法．二项式的展开问题【例3】求在(1＋2x－3x2)6的展开式中x5项的系数．解：(1＋2x－3x2)6＝(1＋3x)6(1－x)6，其中(1＋3x)6的展开式的通项为Tk＋1＝Ck6·3k·xk(k＝0,1，…，6)，(1－x)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cr6·(－1)r·xr(r＝0,1，2，…，6)，故原式＝(1＋3x)6(1－x)6展开式的通项为Ck6·3k·Cr6·(－1)r·xk＋r，现要使k＋r＝5，又k∈0，1，2，…，6，r∈0，1，2，…，6，∴有k＝0，r＝5或k＝1，r＝4或k＝2，r＝3或k＝3，r＝2或k＝4，r＝1或k＝5，r＝0.故x5的系数为C06·30·C56(－1)5＋C16·31·C46(－1)4＋C26·32·C36(－1)3＋C36·33·C26(－1)2＋C46·34·C16(－1)＋C56·35·C06(－1)0＝－168.方法点评：通过对1＋2x－3x2进行因式分解，把三项式转化为两个二项式的积，将两部分看成两个整体使问题得以解决．3．若二项式x2－2xn的展开式中的二项式系数和为64，则展开式中的常数项为()A．－240B．－160C．160D．240【答案】D【解析】由已知得到2n＝64，所以n＝6.所以展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(x2)6－r－2xr＝(－2)rCr6x12－3r，令12－3r＝0，得到r＝4，所以展开式的常数项为T5＝(－2)4C46＝240.从近几年高考信息统计可以看出，排列组合与二项式定理是高考的必考知识点之一，考查时题型以填空题为主，排列组合与统计概率结合在解答题出现．1．(2017年新课标Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】D【解析】由题意可得1人完成2项工作，其余2人每人完成1项工作．由此可得把工作分成三份，有C24种方法，然后进行全排列，有A种方法．由乘法原理可知不同的安排方式共有C24A33＝36种．故选D.2．(2019年浙江)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________.【答案】1625【解析】(2＋x)9的展开式的通项为Tr＋1＝Cr9(2)9－r·xr＝29－r2Cr9xr，令r＝0，得常数项是T1＝162．当r＝1，3，5，7，9时，系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数是5个．3．(2018年浙江)二项式3x＋12x8的展开式的常数项是________．【答案】7【解析】3x＋12x8的展开式的通项为Tr＋1＝Cr8(3x)8－r12xr＝12rCr8x8－4r3.令8－4r3＝0，解得r＝2.所以常数项是122C28＝7.4．(2018年新课标Ⅰ)从2位女生和4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)【答案】16【解析】方法一(直接法)：当有1位女生，2位男生入选时，有C12C24＝12(种)选法；当有2位女生，1位男生入选时，有C22C14＝4(种)选法．所以共有12＋4＝16(种)选法．方法二(间接法)：没有女生入选时，有C34种选法，所以至少有1位女生入选的选法共有C36－C34＝20－4＝16(种)．