2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1-4-2 排列组合的综合应用（二）课件 北师大版

第1页§4简单计数问题第二课时排列组合的综合应用(二)第2页课时学案第3页题型一较复杂的排列组合问题例1有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)共有多少种做法？(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？第4页【解析】(1)一个球一个球的放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256(种)．(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有C42种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理知，共有放法C41·C42·C31·A22＝144(种)．第5页(3)“恰有一个盒子内放2个球”，即另外的三个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故也有144种放法．(4)先从四个盒子中任取两个有C42种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为(3，1)，(2，2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C43·C21种放法；第二类：有C42种放法．因此共有C43·C21＋C42＝14(种)．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有C42·14＝84(种)．第6页探究1解排列组合问题的“16字方针”是：有序排列、无序组合；分类为加，分步为乘．第7页◎思考题1某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()A．504种B．960种C．1008种D．1108种第8页【解析】依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有A22A66＝1440种，其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有C51A22A44＝240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法有C51A22A44＝240种；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方法共有C41A22A33＝48种，因此满足题意的方法共有1440－2×240＋48＝1008种，选C.【答案】C第9页题型二分组问题例2六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)一堆一本，一堆两本，一堆三本；(2)甲得一本，乙得两本，丙得三本；(3)一人得一本，一人得二本，一人得三本；(4)平均分给甲、乙、丙三人，每人两本；(5)平均分成三堆，每堆两本．第10页【解析】(1)先在六本书中任取一本，作为一堆，有C61种取法；再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有C52种取法；最后从余下的3本中取3本，作为一堆，有C33种取法，故共有C61·C52·C33＝60种．(2)由(1)知，分成三堆的方法有C61·C52·C33种，而每种分组方法，就对应一种甲得一本，乙得两本，丙得三本的一种分配方法．故甲得一本，乙得两本，丙得三本的分法应为C61·C52·C33＝60种．第11页(3)由(1)知，分成三堆的方法有C61C52C33种，但每一种分组方法，又有A33种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得3本的分法有C61C52C33·A33＝360种．(4)三个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取2本的方法有C62种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取2本有C42种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本书中取两本书，有C22种方法，所以一共有C62C42C22＝90种．第12页(5)把六本不同的书分成三堆，每堆两本，与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本的区别在于，后者相当于把6本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙3人，因此，设把6本不同的书，平均分成三堆的方法有x种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙3人，每人2本的分法就应有x·A33种，由(4)知，把6本不同的书分给甲、乙、丙3人，每人2本的方法有C62C42C22种．所以，xA33＝C62C42C22，则x＝C62C42C22A33＝15种．第13页探究2对于非均匀“分组”“分配”问题[如(1)(2)(3)]可先“分组”再考虑“分配”，而对于均匀“分组”“分配”问题[如(4)(5)]，可先“分配”再考虑“分组”，无论使用先“分组”后“分配”，还是先“分配”后“分组”，都应因题而异，因人而异．第14页◎思考题2在编号为1，2，3，4四张不同的卡片中，按照下列方法处理各有多少种方法？(1)甲得两张，乙得两张；(2)平均分成两堆，每堆两张．第15页【思路】(1)甲、乙各得两张，可将四张卡片平均分成两组再分给甲和乙，先分组是组合问题，再分给甲、乙两人是排列问题；因为是平均分组，所以分组数为C42C22A22，再分给甲、乙二人的排列数为A22，故甲得两张，乙得两张的方法数为C42C22A22×A22＝6(种)，或用列举法也可．第16页【解析】(1)甲先拿两张，有C42＝6(种)；乙再拿时，只有在剩下的两张卡片中取两张，有C22＝1(种)，根据乘法原理可得C42·C22＝6(种)．(2)∵4张卡片平均分给甲、乙两人的分法为C42C22(由(1)可知)，设平均分成两堆的方法为x种，∴x·A22＝C42·C22，即x＝C42C22A22＝3(种)．第17页题型三涂色问题涂色问题曾在历届高考题中多次出现，下面举几例以期抛砖引玉．第18页例3如下图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答)第19页【解析】本小题在各类教辅资料上都能找到影子，但所给图形变化后，需要同学们有敏锐的观察力．本题能较深刻地测试逻辑思维能力．第20页因区域1与其他四个区域都相邻，宜先考虑．区域1有4种涂法．若区域2、4同色，有3种涂色，此时区域3、5均有两种涂法，涂法总数为4×3×2×2＝48种；若区域2、4不同色，先涂区域2有3种方法，再涂区域4有2种方法．此时区域3、5也都只有1种涂法，涂法总数为4×3×2×1×1＝24种．因此涂法共有48＋24＝72种．【答案】72第21页◎思考题3如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()A．96B．84C．60D．48第22页【解析】根据题意可分情况讨论．取2种花来种，则有C42C21＝12种方法；取3种花来种，则有C43C31C21C21＝48种方法；取4种花来种，则有C41C31C21＝24种方法，故共有12＋48＋24＝84种方法．【答案】B第23页例4如图，用6种不同的颜色给图中4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同．则不同的涂色方法共有________种(用数字作答)．第24页【解析】最多使用3种颜色，且相邻两格颜色不同，可分为使用两种或三种颜色两类，使用两种颜色有A62种方法，使用三种颜色有C63C31A32种方法，故共有A62＋C63C31A32＝390种，故填390.【答案】390第25页自助餐第26页1．两个原理混淆两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关．例1某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为()A．C62C52C82B．C62＋C52＋C82C．A62A52A82D．C192第27页【错解】依题意，高一比赛有C62场，高二比赛有C52场，高三比赛有C82场，由分步计数原理，得共需要进行比赛的场数为C62C52C82，选A【剖析】结合题意，各年级之间进行的比赛是分类计数，而不是分步计数．【正解】依题意，高一比赛有C62场，高二比赛有C52场，高三比赛有C82场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为C62＋C52＋C82，选B.第28页2．排列组合混淆怎样界定排列与组合问题？唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存时，一般采用先组合后排列的方法．第29页例27位身高各不相同的同学排成一排，要求正中间的最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，这样的排法共有多少种？第30页【错解1】最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学，有A63种，剩下的3位同学也有A33种，故共有A63A33＝720种．【错解2】最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C63种；剩下的3位同学也按从高到矮的顺序站在另一边，有C33种．又两边可以交换，故共有C63C33·A22＝40种．第31页【剖析】本题看似排列问题，其实是组合问题．【正解】最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C63种，则剩下三位同学的位置已定．故共有C63＝20种．第32页3．重复计数例37个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有几种？第33页【错解1】排在排头的有除甲之外的A61种情形，排在排尾的也有除乙之外的A61种情形，两端排好后余下的排中间有A55种情形，所以不同的排法有A61A61A55＝4320种．【错解2】头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人来排，有A52种排法，余下的人排中间有A55种排法，所以甲、乙不在排头、排尾的排法有A52A55种；又甲、乙分别在排尾、排头的排法各有A66种，因此不同的排法共有A52A55＋2A66＝3840种．第34页【剖析】对于错解1中排排头的6种情形也有乙不在排尾的情况，因此重复计算了5A55种情形．对于错解2中甲在排尾且乙在排头已包含在甲在排尾或乙在排头的情形中，因此重复计算了A55种排法．【正解1】在错解1中，减去重复数，应为A61A61A55－5A55＝3720种排法．【正解2】在错解2中，减去重复数，应为A52A55＋2A66－A55＝3720种排法．第35页4．遗漏计数例4A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的站法有()A．24种B．60种C．90种D．120种第36页【错解】把A、B“捆绑”为一个元素(B在A的右边)，与C、D、E一起全排列，有A44＝24种站法，故选A.【剖析】审题不严，未注意到“A、B可以不相邻”而漏解．【正解1】按A的位置分为四类：A排第一、二、三、四位时的排法数分别是A44、3A33、2A33、A33，所以共有A44＋3A33＋2A33＋A33＝60种排法，选B.【正解2】利用对称关系(注意到A在B左边与A在B右边的排列情形是对称相同的)，故有A552＝60种，选B.第37页例5教委派5名教研员到3所学校去调研学生课业负担问题，每校至少1人，有多少种不同的选派方法？第38页【正解】先分组，再分配．先把5个人分成3组，有两种分法：①一组3人，另两组各1人，有C53C21C11A22种分法；②一组1人另两组各2人，有C51C42C22A22种分法．再分配到三所学校去有A33种分法．∴共有(C53C21C11A22＋C51C42C22A22)A33＝150种方法．第39页课后巩固第40页1．9名同学分别到数学、物理、化学3个学习小组，参加研究性学习活动，每组3人，则不同的分配方案种数为()A．C93C63A33B.C93C63C33A33C．C93C63C33D．以上都不对第41页答案C解析分配方案分三步完成：先从9名同学中选3人到数学学习小组，有C93种选法；再从其余的6名同学中选3人到物理学习小组，有C63种选法；剩余的3名同学到化学学习小组，有C33种选法．根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有C93C63C33种．第42页2．由数字1