2019-2020学年高中数学 第一章 集合 1 集合的含义与表示（一）课件 北师大版必修1

第一章集合§1集合的含义与表示(一)自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|1．了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．2．掌握集合中元素的三个特征．3．掌握常用数集的记法.1．集合与元素的概念(1)集合：一般地，________某些对象的______称为集合．集合常用______________________________标记．(2)元素：集合中的__________叫作这个集合的元素．元素常用______________________________标记．指定的全体大写字母A，B，C，D，…每个对象小写字母a，b，c，d，…练一练：下列对象能组成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼解析：A中，“著名”的标准不明确，不满足集合中元素的确定性；B中，“快”的标准也不明确；D中，“高”的标准无法确定．A、B、D中的对象都不能组成集合．答案：C2．元素与集合的关系(1)属于：若a在集合A中，就说______________，记作________．(2)不属于：若a不在集合A中，就说________________，记作________．a属于集合Aa∈Aa不属于集合Aa∉A3．常用数集及记法常用数集简称记法自然数组成的集合自然数集___正整数组成的集合正整数集____________整数组成的集合整数集___有理数组成的集合有理数集___实数组成的集合实数集___NN＋或N*ZQR练一练：若a∈R，但a∉Q，则a可以是()A．3.14B．－5C．37D．7解析：a是实数，但不是有理数，7符合题意．答案：D1．怎样理解集合的概念？答：集合是一个原始的、不定义的概念，我们只对它进行描述性说明．集合概念中的“对象”所指范围非常广泛．现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的各种各样的事物或一些抽象的符号，都可以看作“对象”．2．如何理解元素与集合的关系？答：元素与集合的关系常用符号“∈”“∉”来表示．对于任何a与A，a∈A或a∉A这两种情况必有一种且只有一种成立．3．集合中元素的特性是什么？答：(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．如：“世界上面积很小的国家”不能构成集合，因为“很小”标准不明确．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：集合中的元素与顺序无关．如：集合{2,3,5,7}与集合{7,5,2,3}表示同一集合．典例精析规律总结2课堂互动探究下列各组对象能否构成一个集合？(1)大于10的所有实数；(2)方程x2－4＝0的所有实数根组成的集合；(3)平面直角坐标系内第一象限内的一些点；(4)所有的三角形；(5)清华大学2016级的某些新生．【解】(1)任意给定一个实数，可明确判断其是否大于10，符合集合的概念，能构成集合．(2)方程x2－4＝0的实数根是确定的，且互不相同，能构成集合．(3)“一些点”不具有确定性，无法判断某个点是否在“一些点”中，不能构成集合．(4)“所有三角形”满足集合的三个特征，能构成集合．(5)“某些新生”不具有确定性，不能构成集合．【方法总结】构成集合的对象必须是“确定”的，对任何一个对象，要么在集合中，要么不在集合中，必须明确，不能模棱两可．下列各组对象中，能组成集合的有________(填序号)．①所有的好人；②平面上到原点的距离等于2的点；③正三角形；④比较小的正整数；⑤不等式x＋10的实数解．解析：“好人”、“比较小”无确定的标准，因此①④不能组成集合．②③⑤中的对象是明确的，可组成集合．答案：②③⑤用符号“∈”或“∉”填空．(1)0________N＋，0________N,0________Z,0________Q,0________R；(2)1.5________N＋，1.5________N,1.5________Z，1.5________Q,1.5________R；(3)2________N＋，2________N，2________Z，2________Q，2________R.【解析】(1)∵0是自然数、整数、有理数、实数．∴0∉N＋，0∈N,0∈Z,0∈Q,0∈R.(2)∵1.5不是自然数，不是整数，是有理数，是实数．∴1.5∉N＋，1.5∉N,1.5∉Z,1.5∈Q,1.5∈R.(3)∵2是无理数．∴2∉N＋，2∉N，2∉Z，2∉Q，2∈R.【答案】(1)∉∈∈∈∈(2)∉∉∉∈∈(3)∉∉∉∉∈【方法总结】应熟练掌握常见数集的符号表示．给出下列关系式：①12∈R；②2∉Q；③|－3|∉N＋；④|5|∈Q；⑤0∈N＋.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：由R、Q、N＋的含义可知，①②正确，③④⑤不正确，∴选B．答案：B已知集合A中有三个元素：a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3，若1∈A，求实数a及集合A中的元素．【解】∵1∈A，∴a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3都可能为1.当a＋2＝1，即a＝－1时，a2＋3a＋3＝1，这与集合中的元素具有互异性矛盾，故舍去．当(a＋1)2＝1时，a＝0或a＝－2.a＝0时，集合A中的元素是2,1,3；a＝－2时，集合A中的元素是0,1,1，不具备互异性，舍去．当a2＋3a＋3＝1时，a＝－1或a＝－2，由以上知不适合，舍去．综上所述：a＝0，此时集合A中的元素是2,1,3.【方法总结】利用集合元素的特征解决问题时，应特别注意集合元素的互异性以及分类讨论思想的应用．已知集合A是方程x2＋px＋q＝0的解组成的集合，若A中只有一个元素1，求p、q的值．解：由题意可知，方程x2＋px＋q＝0有两个相等的实数根1.∴Δ＝p2－4q＝0，12＋p＋q＝0，解得p＝－2，q＝1，∴p的值为－2，q的值为1.已知集合A中含有三个元素：1,0，x，且x2∈A，求实数x的值．【错解】由x2∈A知，若x2＝1，则x＝±1；若x2＝0，则x＝0；若x2＝x，则x＝0或x＝1.综上，x的值为－1或0或1.【错因分析】由元素与集合的关系求出x的值后，忽视了对集合中元素互异性的检验．【正解】①若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合元素的互异性，舍去．②若x2＝1，则x＝±1.当x＝1时，集合为{1,0,1}，舍去；当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合．③若x2＝x，则x＝0或x＝1，由上可知，x＝0和x＝1都要舍去．综上所述，x＝－1.即学即练稳操胜券3基础知识达标1．下列说法正确的是()A．大于3的所有自然数构成一个集合B．未来世界的高科技产品构成一个集合C．1,0,5，32，12构成的集合含有四个元素D．π的近似值构成一个集合解析：A中的对象是确定、互异的，所以可以构成一个集合；B和D中的对象都不具有确定性；C中的数字可以构成集合，但含有5个元素．故A正确，B、C、D均不正确．答案：A2．下列关系正确的个数是()①－12∈Q；②π∈Q；③0∈N；④9∉N＋.A．1B．2C．3D．4解析：①③正确；②不正确，因为π是无理数；④不正确，因为9＝3∈N＋.答案：B3．下列四个结论：①集合N中最小的数是1；②若a∈N，则－a∉N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④若a∈Z，b∈Z，则a－b∈Z.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：因为自然数N中最小的数是0，所以①②③均不正确；④正确，因为两个整数的差还是整数．答案：A4．已知集合A含有两个元素x＋4，x2＋x.若2∈A，则x＝________.解析：若x＋4＝2，则x＝－2，此时不满足集合中元素的互异性，舍去；若x2＋x＝2，则x＝1或x＝－2(舍去)．答案：15．已知方程x2－7x＋p＝0的解集为A，方程x2＋qx－6＝0的解集为B,3∈A且3∈B，求p、q的值．解：由题意得32－7×3＋p＝0，32＋3q－6＝0，解得p＝12，q＝－1.∴p的值为12，q的值为－1.