2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用课件 新人教A版选修2

1.7定积分的简单应用探究点一不分割型图形面积的求解[思考探究](1)如图①②③是由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(ab)及y＝0所围成的平面图形，如何利用定积分求图形的面积S?名师指津：图①中S＝abf(x)dx；图②中S＝－abf(x)dx；图③中S＝－acf(x)dx＋cbf(x)dx.(2)如图④⑤是由两条曲线y＝f(x)，y＝g(x)和直线x＝a，x＝b(ba)所围成的平面图形，如何利用定积分求图形的面积S?名师指津：图④中S＝ab[f(x)－g(x)]dx；图⑤中S＝ab[f(x)－g(x)]dx.[典例精析]计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．[解]由y＝x＋3，y＝x2－2x＋3，解得x＝0或x＝3.如图．因此所求图形的面积为S＝03(x＋3)dx－03(x2－2x＋3)dx＝03[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝03(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x230＝92.[类题通法]求不分割型图形面积的一般步骤同时，要注意被积函数是图形上边界对应的函数与下边界对应的函数的差．否则，有可能得面积是负的．[针对训练]1．求曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形面积．解：作图，并由y＝ex，y＝e－x，解得交点(0,1)．所求面积为01(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)10＝e＋1e－2.探究点二分割型图形面积的求解[思考探究]下图是由三条曲线y＝f(x)、y＝g(x)和y＝h(x)围成的图形，且在[a，c]上，f(x)≥g(x)，在[c，b]上，f(x)≥h(x)．还能用[探究点一]的方法求该图形的面积吗？如果不能，该如何求解？名师指津：不能．S＝ac[f(x)－g(x)]dx＋cb[f(x)－h(x)]dx.[典例精析]求曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成的图形的面积．[解]画出草图，如图所示．解方程组y＝x，x＋y＝2，y＝x，y＝－13x，及x＋y＝2，y＝－13x，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．法一：S＝01x－－13xdx＋132－x－－13xdx＝01x＋13xdx＋132－23xdx＝23x32＋16x2)10＋2x－13x231＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝136.法二：若选y为积分变量，则三个函数分别为x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S＝-10[(2－y)－(－3y)]dy＋01[(2－y)－y2]dy＝-10(2＋2y)dy＋01(2－y－y2)dy＝(2y＋y2)|0-1＋2y－12y2－13y310＝－(－2＋1)＋2－12－13＝136.[类题通法]由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的曲线有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由上减下．若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，被积函数改为y的函数，同时更改积分的上下限．[针对训练]2．求曲线xy＝1及直线y＝x，y＝3所围成图形的面积．解：如图所示，由xy＝1，y＝x，得A点坐标为(1,1)；由xy＝1，y＝3，得B点坐标为13，3；由y＝x，y＝3，得C点坐标为(3,3)．法一：以x为积分变量，所求阴影部分的面积为S＝S1＋S2＝1313－1xdx＋13(3－x)dx＝(3x－lnx)113＋3x－12x231＝2－ln3＋2＝4－ln3.法二：以y为积分变量，所求阴影部分的面积为S＝13y－1ydy＝12y2－lny31＝4－ln3.探究点三求变速直线运动的路程[思考探究]若做变速直线运动的物体的速度函数为v＝v(t)(v(t)≥0)，则它在t＝a到t＝b(ba)的时间段内所经过的路程s是多少？提示：s＝abv(t)dt.[典例精析]有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P移动的路程和离开原点的位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．[解](1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P移动的路程s1＝04(8t－2t2)dt－46(8t－2t2)dt＝4t2－23t340－4t2－23t364＝1283.当t＝6时，点P的位移为06(8t－2t2)dt＝4t2－23t360＝0.(2)依题意0t(8t－2t2)dt＝0，即4t2－23t3＝0，解得t＝0或t＝6，t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．[类题通法]做变速直线运动的物体，从时刻t＝a到时刻t＝b(ab)所经过的路程s和位移s′情况如下：(1)若v(t)≥0，则s＝abv(t)dt；s′＝abv(t)dt.即s＝s′.(2)若v(t)≤0，则s＝－abv(t)dt；s′＝abv(t)dt.即s＝－s′.(3)若在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)＜0，则s＝acv(t)dt－cbv(t)dt，s′＝abv(t)dt.所以求路程时要事先求得速度的正负区间．[针对训练]3．做变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．解：当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)0.所以前2秒钟内所走的路程s＝01(1－t2)dt－12(1－t2)dt＝2，2秒末所在的位置x1＝x0＋02v(t)dt＝1＋02(1－t2)dt＝1＋t－t3320＝1＋2－83＝13.所以物体在2秒钟内所走的路程为2，所在的位置为x1＝13.探究点四求变力做功[思考探究]如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)，那么变力F(x)所作的功为多少？提示：W＝abF(x)dx.[典例精析]由胡克定律知，把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长量成正比，现知2N的力能使一个弹簧伸长3cm，试求要把弹簧拉伸0.4m所需的功．[解]由胡克定律知拉长弹簧所需的力F(x)＝kx，其中x为伸长量．所以2＝0.03k，得k＝2003(N/m)，于是F(x)＝2003x.故将弹簧拉长0.4m所做的功为：W＝00.42003xdx＝1003x20.40＝163(J)．因此将弹簧拉伸0.4m所做的功为163J.[类题通法]求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移．(2)利用变力做功的公式W＝abF(x)dx计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．[针对训练]4．若2N的力能使一个弹簧伸长5cm，则把弹簧拉伸0.4m所需的功是多少？解：由胡克定律知拉长弹簧所需的力F(x)＝kx，其中x为伸长量．所以2＝0.05k，得k＝40(N/m)，于是F(x)＝40x.故将弹簧拉长0.4m所做的功为：W＝00.4xdx＝20x20.40＝3.2(J)．因此将弹簧拉伸0.4m所做的功为3.2J.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是定积分的几何应用，即用定积分求平面图形的面积，难点是分割型图形面积的求法．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)不分割型图形面积的求法，见探究点一；(2)分割型图形面积的求法，见探究点二；(3)求变速直线运动的路程，见探究点三；(4)求变力做功，见探究点四．3．在求由曲线围成的平面图形的面积时，准确画出示意图，求出曲线的交点，确定积分上、下限是解决此类问题的关键，也是本节课的易错点．