2019-2020学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3 3.1 指数函数的概念 3.2 指数

第三章指数函数和对数函数§3指数函数3．1指数函数的概念3．2指数函数y＝2x和y＝12x的图像和性质自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|1．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出指数函数图像．2．初步掌握指数函数的有关性质.1．函数___________________叫做指数函数．y＝ax(a0且a≠1)练一练：下列以x为自变量的函数中属于指数函数的是()A．y＝(a＋1)x(a－1且a≠0，a为常数)B．y＝(－3)xC．y＝－2xD．y＝3x＋1解析：由指数函数的概念知，A正确．答案：A2．指数函数的图像与性质0a1a1图像定义域___________值域_______过定点a0且a≠1，无论a取何值恒过点______各区间取值当x0时，______；当x0时，____当x0时，____；当x0时，______性质单调性定义域上单调______定义域上单调______(－∞，＋∞)(0，＋∞)(0，1)0y1y1y10y1递减递增练一练：已知函数y＝(a－1)x是指数函数，且当x0时，y1，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，0a－11，解得1a2.答案：(1，2)指数函数y＝ax中，规定底数a0且a≠1的原因是什么？答：(1)如果a＝0，当x0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．(2)如果a0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝12，14，…在实数范围内函数值不存在．(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，无研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定a0且a≠1.典例精析规律总结2课堂互动探究下列函数中，哪些是指数函数？①y＝10x；②y＝10x＋1；③y＝10x＋1；④y＝2·10x；⑤y＝(－10)x；⑥y＝(10＋a)x(a－10，且a≠－9)；⑦y＝x10.【解】①y＝10x符合定义，是指数函数；②y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10这两个函数相乘得到的函数，不是指数函数；③y＝10x＋1是由y＝10x和y＝1这两个函数相加得到的函数；④y＝2·10x是由y＝2和y＝10x这两个函数相乘得到的函数；⑤y＝(－10)x的底数是负数，不符合指数函数的定义；⑥由于10＋a0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故y＝(10＋a)x(a－10且a≠－9)是指数函数；⑦y＝x10的底数不是常数，故不是指数函数．【方法总结】指数函数y＝ax中，底数a必须满足大于0且不等于1，其前面系数为1，自变量x必须在指数位置．否则，不能称为指数函数．已知函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．解：由于y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，所以a2－3a＋3＝1，a0且a≠1，解得a＝1或2，a0且a≠1.故a＝2.求下列函数的定义域和值域．(1)y＝21x；(2)y＝12－x2＋2x＋8；(3)y＝4x＋2x＋1＋1.【解】(1)设u＝1x，则x≠0，u≠0，由y＝2u知y≠1，所以函数y＝21x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，值域为{y|y0，且y≠1}．(2)设u＝－x2＋2x＋8，则u＝－(x－1)2＋9≤9.所以y＝12u在(－∞，9]上是减函数，所以12u≥129＝1512，所以y＝12－x2＋2x＋8的定义域为R，值域为yy≥1512.(3)y＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2.因为2x0，所以2x＋11，所以(2x＋1)21，所以y＝4x＋2x＋1＋1的定义域为R，值域为(1，＋∞)．【方法总结】定义域是使所给函数有意义的x的取值范围．求值域时，应先求出指数部分对应函数的值域，再把此值域作为指数函数定义域去求解．求下列函数的定义域和值域．(1)y＝21＋2x－x2；(2)y＝3－1x－1.解：(1)函数定义域为R.令u＝1＋2x－x2＝－(x－1)2＋2≤2，所以y＝2u∈(0，4]，函数y＝21＋2x－x2的值域为(0，4]．(2)函数定义域为{x|x≠0}．令u＝1x，则u∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以y＝3－u－1＝13u－1∈(－1，0)∪(0，＋∞)．因此函数y＝3－1x－1的值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．比较下列各组数的大小：(1)740.1和740.2；(2)3416和43－15；(3)0.8－2和53－12；(4)a13和a12，(a0，a≠1)．【解】(1)y＝74x在(－∞，＋∞)上是减函数，又0.10.2，故740.1740.2.(2)3416＝43－16，由y＝43x的单调性可得，43－1643－15，即341643－15.(3)由0.8－21而53－121，可知0.8－253－12.(4)当a1时，a13a12，当0a1时，a13a12.【方法总结】比较幂值大小的方法：①单调性法：比较同底数幂大小，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数图像和性质来判断．②中间量法：比较不同底数幂的大小，常借助于中间值1进行比较，判断指数幂和1的大小．】设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝12－1.5，则()A．y3y1y2B．y2y1y3C．y1y2y3D．y1y3y2解析：都化为以2为底的幂，y1＝40.9＝21.8，y2＝(23)0.48＝21.44，y3＝21.5，因为y＝2x是增函数，且1.81.51.44.∴y1y3y2.答案：D求函数y＝132x－x2的值域．【错解】设t＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，t≤1.则y＝13t≤131＝13.即函数的值域为－∞，13.【错因分析】忽略了y＝13t的单调性．【正解】设t＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，t≤1.∵y＝13t为减函数，∴y＝13t≥131＝13，即函数的值域为13，＋∞.即学即练稳操胜券3基础知识达标1.指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图，则()A．a0，b0B．a0，b0C．0a1，b1D．0a1，0b1解析：由图像知函数y＝ax单调递减，∴0a1；函数y＝bx单调递增，∴b1.答案：C2．三个数30.4，0.43，30.3的大小关系为()A．0.4330.330.4B．0.4330.430.3C．30.330.40.43D．30.30.4330.4解析：∵30.430.31，00.431，∴0.4330.330.4.答案：A3．函数ƒ(x)＝12x－1的定义域、值域分别是()A．定义域是R，值域是RB．定义域是R，值域是(0，＋∞)C．定义域是(0，＋∞)，值域是RD．定义域是R，值域是(－1，＋∞)解析：∵12x0，∴12x－1－1.∴函数ƒ(x)＝12x－1的定义域为R，值域为(－1，＋∞)．答案：D4．函数y＝1－12x的定义域是________，值域是_______．解析：由1－12x≥0，得12x≤1，∴x≥0.又12x0，∴－12x0，∴1－12x1，∴0≤1－12x1，即0≤y1.故定义域为[0，＋∞)，值域为[0，1)．答案：[0，＋∞)[0，1)5．求函数y＝812x－1的定义域、值域．解：∵2x－1≠0∴x≠12.定义域令t＝12x－1，则t≠0，t∈R.由y＝8t(t∈R且t≠0)得y0且y≠1.∴原函数值域是{y|y0且y≠1}.