2019-2020学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 2 抛物线 2.1 抛物线及其标准方程课件

一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作，定点F叫作抛物线的，这条定直线l叫作抛物线的．二、抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p0)抛物线焦点准线(p2，0)x＝－p2图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)(－p2，0)x＝p2(0，p2)y＝－p2(0，－p2)y＝p2[疑难提示]抛物线定义的理解(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F即抛物线的焦点；一条定直线l即抛物线的准线；一个定值即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．如到点F(1,0)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线．[想一想]1．如何确定抛物线的焦点位置和开口方向？提示：一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上，焦点确定，开口方向也随之确定．[练一练]2．若2x＋32＋2y－12－|x－y＋3|＝0，则动点M(x，y)的轨迹是()A．一条线段B．圆C．椭圆D．抛物线解析：由已知得x＋32＋y－12＝|x－y＋3|2，这表明点M(x，y)到定点F(－3,1)的距离与到定直线l：x－y＋3＝0的距离相等．又F∉l，所以由抛物线的定义，知动点M(x，y)的轨迹是抛物线．答案：D3．抛物线y2＝4x的准线方程是________，焦点坐标是________．解析：由y2＝4x知p2＝1，所以准线方程为x＝－1，焦点坐标为(1,0)．答案：x＝－1(1,0)探究一由抛物线求焦点和准线[典例1]求抛物线y＝2ax2(a≠0)的顶点坐标、焦点坐标、准线方程，指出其开口方向并确定p值．[解析]将y＝2ax2化为标准方程得x2＝12ay.∴焦点为(0，18a)，准线方程为y＝－18a，顶点坐标为(0,0)，当a0时，开口向上，p＝14a；当a0时，开口向下，p＝－14a.一般地，不论a符号如何，形如y2＝ax(a≠0)的抛物线，焦点均为F(a4，0)，准线方程均为x＝－a4；形如x2＝ay(a≠0)的抛物线，焦点为F(0，a4)，准线方程为y＝－a4，而p(指焦点到准线的距离)总是正数．1．已知抛物线标准方程，分别求其焦点坐标和准线方程．(1)y2＝8x；(2)2x2－5y＝0.解析：(1)因为p＝4，所求抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.(2)2x2－5y＝0化为x2＝52y，抛物线开口向上，∴p＝54.∴抛物线焦点坐标为(0，58)，准线方程为y＝－58.2．指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向．(1)y＝14x2；(2)x＝ay2(a≠0)．解析：(1)抛物线y＝14x2的标准形式为x2＝4y，∴p＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1.抛物线开口向上．(2)抛物线方程的标准形式为y2＝1ax，∴2p＝1|a|.①当a0时，p2＝14a，抛物线开口向右，∴焦点坐标是14a，0，准线方程是x＝－14a；②当a0时，p2＝－14a，抛物线开口向左，∴焦点坐标是14a，0，准线方程是x＝－14a.综合上述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为14a，0，准线方程为x＝－14a.a0时，开口向右；a0时，开口向左．探究二求抛物线的标准方程[典例2]根据下列条件确定抛物线的标准方程．(1)关于y轴对称且过点(－1，－3)；(2)过点(4，－8)；(3)焦点在x－2y－4＝0上；(4)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52.[解析](1)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p0)，将点(－1，－3)的坐标代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝16.所以所求抛物线方程为x2＝－13y.(2)设所求抛物线方程为y2＝2px(p0)或x2＝－2p′y(p′0)，将点(4，－8)的坐标代入y2＝2px，得p＝8，将点(4，－8)的坐标代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－2y.(3)由x＝0，x－2y－4＝0，得x＝0，y＝－2.由y＝0，x－2y－4＝0，得y＝0，x＝4.所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点坐标为(0，－2)时，由p2＝2，得p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－8y.当焦点坐标为(4,0)时，由p2＝4，得p＝8，所以所求抛物线方程为y2＝16x.综上所述，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x.(4)由焦点到准线的距离为52，可知p＝52.所以所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.1．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．2．求抛物线标准方程的方法特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论．3．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为()A．y2＝x或x2＝－8yB．y2＝x或y2＝8xC．y2＝－8xD．x2＝－8y解析：∵点P在第四象限，∴抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线的方程为y2＝2p1x(p10)，则(－2)2＝8p1，∴p1＝12，∴抛物线的方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线的方程为x2＝－2p2y(p20)，则42＝4p2，∴p2＝4，∴抛物线的方程为x2＝－8y.答案：A4．根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是6；(2)焦点在y轴上，且抛物线上一点p(m,1)到焦点F的距离为6；(3)焦点在直线x－3y－15＝0上．解析：(1)由题意可设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p0)，因为焦点到准线的距离为6，所以p＝6，故抛物线的标准方程为y2＝－12x.(2)由题意可设抛物线的标准方程为x2＝2py(p0)．因为点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，所以1－－p2＝6，解得p＝10，所以抛物线的标准方程为x2＝20y.(3)因为抛物线的焦点在直线x－3y－15＝0上，所以易知抛物线的焦点坐标为(15,0)或(0，－5)，所以抛物线开口向右或向下．若抛物线开口向右，则可设抛物线的标准方程为y2＝2p1x(p0)，于是根据焦点坐标为(15,0)，得p12＝15，解得p1＝30，所以抛物线的标准方程是y2＝60x；若抛物线开口向下，则可设抛物线的标准方程为x2＝－2p2y(p20)，于是根据焦点坐标为(0，－5)，得－p22＝－5，解得p2＝10，所以抛物线的标准方程是x2＝－20y.综上可知，所求抛物线的标准方程是y2＝60x或x2＝－20y.探究三抛物线的实际应用[典例3]一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱宽AB恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为am，求能使卡车通过的a的最小整数值．[解析]以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p0)，则点B的坐标为(a2，－a4)，由点B在抛物线上，得(a2)2＝－2p(－a4)，p＝a2，所以抛物线方程为x2＝－ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－0.64a.由点E到拱底AB的距离为a4－|y|＝a4－0.64a3.解得a12.21或a－0.21(舍去)．∵a取整数，∴a的最小值为13.5．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25.即抛物线方程为x2＝－25y.∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6、－2、2、6.由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x2＝－25y，得yB＝－425.∴|AB|＝4－425＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．探究四抛物线定义的应用抛物线定义的应用——根据定义求抛物线方程—轨迹方程问题—线段长度问题—根据定义求最值6．若抛物线的焦点为(2,2)，准线方程为x＋y－1＝0.求此抛物线方程．解析：设P(x，y)是抛物线上任一点，由抛物线的定义可知：x－22＋y－22＝|x＋y－1|2，两边平方整理可得，此抛物线方程为x2－2xy＋y2－6x－6y＋15＝0.7．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．解析：解法一设点P的坐标为(x，y)，动圆P的半径为r，由条件知|AP|＝r＋1，即x＋22＋y2＝|x－1|＋1，化简，整理得y2＝－8x.所以点P的轨迹方程为y2＝－8x.解法二如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K.PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则|KQ|＝1，所以|PQ|＝r＋1.又|AP|＝r＋1，所以|AP|＝|PQ|，故点P到圆心A(－2,0)的距离和定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．所以p2＝2，所以p＝4.所以点P的轨迹方程为y2＝－8x.8.某地地震发生后，由于公路破坏严重，救灾物资需水运到合适地点再转运到受灾严重的A，B两地，如图所示，需要在河岸PQ上某点M处抢修一码头和到A，B两地的公路，经测算，A地在损毁的公路l正东方向2km处(方位：上北下南)，B地在A地北偏东60°方向23km处，河流沿岸PQ上每一点到公路l和到A地的距离相等．已知修建公路的费用均为每千米2万元，修建码头的费用是10万元，则抢修费用最低为多少万元？解析：因为河流沿岸PQ上每一点到公路l和到A地的距离相等，所以河流沿岸所在曲线为抛物线．于是，可建立如图所示的平面直角坐标系．从而，依题意可得点A(1,0)，直线l：x＝－1，点B(4，3)．过点B，M分别作BE⊥l，MF⊥l，垂足分别为E，F，则由抛物线的定义，得|MA|＋|MB|＝|MF|＋|MB|≥|BE|，当且仅当E，M，B三点共线(M在线段BE上)时取等号．又|BE|＝4－(－1)＝5，所以(|MA|＋|MB|)min＝5.故总抢修费用最低为2×5＋10＝20(万元)．9．设P是曲线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，点F是抛物线的焦点，求|PB|＋|PF|的最小值．解析：(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于P点，故最小值为22＋1＝5.(2)如图，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，此时，|P1Q|＝|P1F|，那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.因忽略抛物线定义中的限制条件致误[典例]若动点P到定点F(1,1)的距离与它到直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是________．(填椭圆、抛物线或直线)．[解析]设动点P的坐标为(x，y)，则由题意可得x－12＋y－12＝|3x＋y－4|10，整理得x－3y＋2＝0.即P点的轨迹是直线x－3