2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题 第一课时 简单的线性

3.3.2简单的线性规划问题第一课时简单的线性规划问题[目标导航]课标要求1.了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,了解线性规划的意义.2.能够利用图解法求解基本的线性规划问题.3.理解目标函数的最大(小)值与其对应直线的截距的关系.素养达成通过对简单的线性规划问题的学习,培养学生数学建模与直观想象能力.新知导学课堂探究线性规划中的基本概念新知导学·素养养成一次名称意义约束条件变量x,y满足的一组条件线性约束条件由x,y的不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式线性目标函数目标函数是关于x,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的(x,y)可行域所有可行解组成的_________最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题解集合思考1:在线性约束条件下,最优解唯一吗?答案:不一定.可能没有,可能有一个或无数个.思考2:目标函数中的z一定都是直线在y轴上的截距吗?答案:不一定.若目标函数为z=ax+by,则y=-abx+1bz,因此直线的截距是1bz.名师点津(1)线性约束条件包括两点:一是变量x,y的不等式(或等式),二是次数为1.(2)目标函数与线性目标函数的概念不同,线性目标函数在变量x,y的次数上作了严格的限定:一次解析式,即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数.(3)可行解必须使约束条件成立,而可行域是所有的可行解组成的一个集合.课堂探究·素养提升解:作出可行域如图所示.题型一求线性目标函数的最值[例1]设z=2x+y,式中变量x,y满足条件43,3525,1,xyxyx求z的最大值和最小值.把z=2x+y变形为y=-2x+z,得到斜率为-2,在y轴上的截距为z,是随z变化的一组平行直线.由图可知,当直线z=2x+y经过可行域上的点A时,截距z最大,经过点B时,截距z最小.解方程组430,35250,xyxy得A点坐标为(5,2),解方程组1,430,xxy得B点坐标为(1,1),所以zmax=2×5+2=12,zmin=2×1+1=3.方法技巧(1)一般地,对目标函数z=ax+by,若b0,则纵截距与z同号,因此,纵截距最大时,z也最大;若b0,则纵截距与z异号,因此,纵截距最大时,z反而最小.(2)解二元线性规划问题的一般步骤①画:在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=0(目标函数为z=ax+by);②移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点;③求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值;④答:给出正确答案.即时训练1-1:设变量x,y满足约束条件20,5100,80,xyxyxy则目标函数z=3x-4y的最大值和最小值分别为多少?解:作可行域如图所示,解20,80xyxy得3,5,xy所以A(3,5).解80,5100xyxy得5,3,xy所以B(5,3).平移直线3x-4y=z可知,直线过A点时,z取最小值,过B点时,z取最大值.所以zmin=3×3-4×5=-11,zmax=3×5-4×3=3.[备用例1](1)(2019·辽宁沈阳高二检测)已知O为坐标原点,点A(1,1),若点B满足约束条件222210,12,12,xyxyxy则OA·OB的最小值是.解析:(1)设B(x,y),不等式组变形为22(1)(1)1,12,12.xyxy由A(1,1),B(x,y),得OA·OB=x+y,因此题目转化为求在上述不等式组表示的可行域内的目标函数z=x+y的最小值,注意到第一个不等式表示的是圆(x-1)2+(y-1)2=1及其外部,目标函数变形为直线y=-x+z,作出可行域及直线,如图阴影部分为可行域,直线为目标函数对应的直线,易知直线下移至点M,N时取最小值,此时易得直线方程为x+y=3,因此所求的最小值为3.答案:(1)3(2)(2019·德州高二检测)若实数x,y满足24010,1,xyxyx，则x+y的取值范围是.解析:(2)画出可行域如图.可行域为△ABC的内部及其边界.设x+y=t,则y=-x+t,t的几何意义为直线y=-x+t在y轴上的截距,当直线通过点A,B时,t取得最小值与最大值,可求得A,B两点的坐标分别为(1,0)和(2,1),所以1≤t≤3,即x+y的取值范围是[1,3].答案:(2)[1,3]题型二求非线性目标函数的最值[例2](2019·潍坊高二检测)设x,y满足条件50,0,3.xyxyx(1)求u=x2+y2的最大值与最小值;规范解答:画出满足条件的可行域,如图中阴影部分所示.(1)u=x2+y2(除原点)表示一组同心圆(圆心为原点O),由图可知,当(x,y)在可行域内取值时,当且仅当圆O过C点时,u最大,取(0,0)时,u最小.又C(3,8),所以umax=73,umin=0.…………4分(2)求v=5yx的最大值与最小值;规范解答:(2)v=5yx表示可行域内的点P(x,y)与定点D(5,0)连线的斜率,由图象可知,kBD最大,kCD最小.又C(3,8),B(3,-3),所以vmax=335=32,vmin=835=-4.…………………8分规范解答:(3)因为z=|2x+y+4|=5·245xy表示可行域内的点P(x,y)到直线2x+y+4=0的距离的5倍,由图象知点A到直线2x+y+4=0的距离最小,点C到直线2x+y+4=0的距离最大.因为A(-52,52),C(3,8),所以zmin=5×552()4225=32.zmax=5×23845=18.…………………………12分(3)求z=|2x+y+4|的最大值与最小值.方法技巧非线性目标函数的最值的求解策略(1)z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)距离的平方.特别地,z=x2+y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.(2)z=ybxa型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.(3)z=|Ax+By+C|可转化为点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离的22AB倍.解析:画出不等式组表示的平面区域,得可行域是三角形围成的区域(含边界),如图所示.s=11yx的几何意义是可行域内的点P(x,y)与点M(-1,-1)连线的斜率,由图形得,当点P与点B(0,1)重合时,s最大;当点P与点A(1,0)重合时,s最小,即kMA≤s≤kMB,又kMA=0(1)1(1)=12,kMB=1(1)0(1)=2,所以s=11yx的取值范围是[12,2].即时训练2-1:设变量x,y满足约束条件20,220,10,xyyxyxy则s=11yx的取值范围是.答案:[12,2](1)解析:如图,作出可行域,将目标函数化为t=(x+1)2+(y-1)2,可以看作是动点(x,y)到定点A(-1,1)的距离的平方,结合图形知,只需求定点A(-1,1)到直线y=x的距离即可,由点到直线的距离公式得112=2,所以所求最小值tmin=2.故选B.[备用例2](1)已知x,y满足不等式组,24,2,yxxyx则t=x2+y2+2x-2y+2的最小值为()(A)95(B)2(C)3(D)2(2)解:①设f(x)=x2+ax+2b,由已知得(0)0,(1)0,(2)0,fff即0,210,20,babab所以点(a,b)组成的区域为如图所示的阴影部分.由210,20,abab解得3,1,ab故A(-3,1).由20,0,abb解得2,0,ab故B(-2,0).由210,0,abb解得1,0,ab故C(-1,0).所以S△ABC=12×(2-1)×1=12.(2)一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间[0,1]内,另一个根在区间[1,2]内.①求点(a,b)对应的区域的面积;解:②记点(1,2)为D,点(a,b)为P,则kPD=21ba,易知kAD≤kPD≤kCD,又因为kAD=14,kCD=1,所以14≤kPD≤1,即14≤21ba≤1.所以21ba的取值范围为[14,1].②求21ba的取值范围;③求(a-1)2+(b-2)2的值域.解:③由②易知(a-1)2+(b-2)2=|PD|2,|CD|2≤|PD|2≤|AD|2,因为|AD|2=17,|CD|2=8,所以8≤(a-1)2+(b-2)2≤17,所以(a-1)2+(b-2)2的取值范围是[8,17].题型三线性规划中的参数问题解析:作出不等式组表示的平面区域,即可行域(如图所示)为矩形ABCD(包括边界).解方程组2,4,xyxy得3,1,xy即C(3,1),目标函数为z=ax+y(a0),作出直线y=-ax+z(图略),平移y=-ax+z使直线在y轴上的截距最大,可知直线经过点C时,z取得最大值,所以-akCD,即-a-1,则a的取值范围为(1,+∞).[例3]已知变量x,y满足约束条件14,22,xyxy若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为.答案:(1,+∞)一题多变:在本例条件下,若目标函数z=ax+y(a0)取得最大值的点有无数个,求a的值.解:结合本例中图形,若z=ax+y(a0)取得最大值的点有无数个,则必有直线z=ax+y与x+y=4重合,即-a=-1,此时a=1.方法技巧根据目标函数的最值求参数的解题思路采用数形结合,先画出可行域,根据目标函数表示的意义,画出目标函数等于最值的直线,它与相应直线的交点就是最优解,再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件,即可求出参数的值或范围.[备用例3]若实数x,y满足不等式组330,230,10,xyxyxmy且x+y的最大值为9,则实数m等于()(A)-2(B)-1(C)1(D)2解析:画出330,230xyxy表示的平面区域如图,又x-my+1=0恒过(-1,0)点,当m0时,x+y无最大值,故选项A,B错误,因此m0,又满足条件的可行域必须是一个三角形,联立230,10,xyxmy解得A(3121mm,521m),所以3121mm+521m=9,解得m=1.故选C.学霸经验分享区(1)用图解法求线性目标函数的最值时,由于关键步骤基本上是在图上完成的,所以作图一定要准确;其次要弄清z的含义,z总是与直线的纵截距有关;平移直线时,要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较,以确定最优解.(2)解决非线性目标函数问题时,要首先考虑目标函数的几何意义,再结合图形解决.课堂达标解析:把目标函数变形为y=2x-z,由此可见,z是该直线在y轴上的截距的相反数.故选C.1.目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时,z的意义是()(A)该直线在坐标轴上的距离(B)该直线在y轴上的截距(C)该直线在y轴上的截距的相反数(D)该直线在x轴上的截距C(A)-7(B)-6(C)-5(D)-3B2.设x,y满足约束条件10,10,3,xyxyx则z=2x-3y的最小值是()解析:作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).易知直线z=2x-3y过点C时,z取得小值.由3,10,xxy得3,4,xy所以zmin=2×3-3×4=-6.故选B.3.已知平面区域如