2019-2020学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3

2．3.1离散型随机变量的均值课前自主预习知识点离散型随机变量的均值或数学期望1．离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的．□01x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn□02平均水平2．均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，(1)Y也是随机变量；(2)E(aX＋b)＝.□03aE(X)＋b知识点两点分布、二项分布的均值(1)两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝.(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝.□01p□02np要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论：(1)E(C)＝C(C为常数)；(2)E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；(3)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．()(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．()(3)若随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝3，则E(4ξ－5)＝7.()×√×2．做一做(1)若随机变量η的分布列为η012P0.20.3m则η的数学期望E(η)＝________.(2)设随机变量X～B(16，p)，且E(X)＝4，则p＝________.(3)设口袋中有黑球、白球共7个，从中有放回地依次任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为67，则口袋中白球的个数为________．答案(1)1.3(2)14(3)3答案解析(1)由题意可知m＝0.5，故η的数学期望E(η)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.5＝1.3.(2)若随机变量X～B(16，p)，且E(X)＝4，则16p＝4，所以p＝14.(3)设口袋中有白球n个，由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球的概率是n7，因为每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，所以符合二项分布，所以2×n7＝67，所以n＝3.解析课堂互动探究探究1求离散型随机变量的均值例1袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分ξ的数学期望．[解]取出4只球颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为P(ξ＝5)＝C14C33C47＝435，P(ξ＝6)＝C24C23C47＝1835，P(ξ＝7)＝C34C13C47＝1235，P(ξ＝8)＝C44C03C47＝135.随机变量ξ的分布列为ξ5678P43518351235135所以E(ξ)＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447.解析拓展提升求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P(ξ＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(ξ)的计算公式计算E(ξ)．[跟踪训练1]盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．解X可取的值为1,2,3，则P(X＝1)＝35，P(X＝2)＝25×34＝310，P(X＝3)＝25×14×1＝110.答案抽取次数X的分布列为X123P35310110E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.答案探究2均值性质的应用例2已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3.ξ4a9P0.50.1b(1)求b；(2)求a；(3)若η＝2ξ－3，求E(η)．[解](1)由随机变量的分布列的性质，得0．5＋0.1＋b＝1.解得b＝0.4.(2)E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.解得a＝7.(3)由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b得E(η)＝E(2ξ－3)＝2E(ξ)－3＝2×6.3－3＝9.6.答案拓展提升求均值的关键是求出随机变量的分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用求均值的公式求解．对于求aX＋b型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出随机变量(aX＋b)的分布列，再用定义求解．[跟踪训练2]已知随机变量ξ的分布列为ξ－101P1213m若η＝aξ＋3，E(η)＝73，则a＝________.答案2答案解析由分布列的性质，得12＋13＋m＝1，即m＝16，所以E(ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.则E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝73，即－13a＋3＝73，得a＝2.解析探究3离散型随机变量均值的实际应用例3某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．[解](1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，∴ξ～B4，12.∴P(ξ＝0)＝C04124＝116，P(ξ＝1)＝C14124＝14，P(ξ＝2)＝C24124＝38，P(ξ＝3)＝C34124＝14，P(ξ＝4)＝C44124＝116.答案∴ξ的分布列为ξ01234P116143814116(2)∵ξ～B4，12，∴E(ξ)＝4×12＝2.又由题意可知η＝2300－100ξ，∴E(η)＝E(2300－100ξ)＝2300－100E(ξ)＝2300－100×2＝2100.即所求变量η的数学期望为2100元．答案拓展提升解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望．[跟踪训练3]随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4200＝0.02.故X的分布列为X621－2P0.630.250.10.02答案(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.即1件产品的平均利润为4.34万元．(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.答案1.求离散型随机变量均值的步骤(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值.2.若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.随堂达标自测1．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝()A．0.765B．1.75C．1.765D．0.22答案B答案解析P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.解析2．已知随机变量ξ的分布列为ξ4a910P0.30.1b0.2若E(ξ)＝7.5，则a等于()A．5B．6C．7D．8解析由题意得，0.3＋0.1＋b＋0.2＝1，4×0.3＋a×0.1＋9b＋10×0.2＝7.5，得b＝0.4，a＝7.解析答案C答案3．抛掷两颗骰子，若至少有一颗出现4点或5点时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的数学期望为________．解析一次试验成功的概率为1－4×46×6＝59，故X～B10，59，因此X的数学期望为509.解析答案509答案4．随机变量ξ的概率分布列如下表：ξ123P？！？尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，则E(ξ)＝________.答案2答案解析设“？”处的数值为t，则“！”处的数值为1－2t，所以E(ξ)＝t＋2(1－2t)＋3t＝2.解析5．交5元钱可以参加一次抽奖，一袋中有同样大小的10个球，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期望．解设ξ为抽到的2球钱数之和，则ξ的取值如下：ξ＝2(抽到2个1元)，ξ＝6(抽到1个1元，1个5元)，ξ＝10(抽到2个5元)．所以由题意得P(ξ＝2)＝C28C210＝2845，答案P(ξ＝6)＝C18C12C210＝1645，P(ξ＝10)＝C22C210＝145.所以E(ξ)＝2×2845＋6×1645＋10×145＝185.又设η为抽奖者获利的可能值，则η＝ξ－5，所以抽奖者获利的数学期望为E(η)＝E(ξ)－5＝185－5＝－75.答案本课结束