2019-2020学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.

2.1.2离散型随机变量的分布列课前自主预习知识点离散型随机变量的分布列1．离散型随机变量的分布列的概念一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格形式表示为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称上表为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．用等式可表示为，i＝1,2，…，n，离散型随机变量分布列还可以用表示．2．离散型随机变量的性质(1)；(2).□01P(X＝xi)＝pi□02图象法□03pi≥0，i＝1,2，…，n□04∑ni＝1pi＝1知识点两点分布(1)形式与定义X01P1－pp如果随机变量X的分布列为上述形式，就称X服从两点分布．(2)称p＝P(X＝1)为．(3)两点分布又称分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以还称这种分布为分布．□01成功概率□020－1□03伯努利知识点超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称分布列：X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…为超几何分布列．□01CkMCn－kN－MCnN□02CmMCn－mN－MCnN如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小．求离散型随机变量的分布列的步骤：(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…)；(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝Pi；(3)列出表格．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．()(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．()(3)超几何分布的总体里只有两类物品．()×√×2．做一做(1)在射击试验中，令X＝1，射中，0，未射中，如果射中的概率是0.9，则随机变量的分布列为________．(2)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck＋1，k＝0,1,2,3，则C＝________.(3)若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.答案(1)X01P0.10.9(2)1225(3)0.8答案解析(1)由题意知X服从两点分布，故随机变量X的分布列为X01P0.10.9(2)由分布列的性质得C1＋12＋13＋14＝1，所以C＝1225.(3)由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，所以P(Y＝－2)＝0.8.解析课堂互动探究探究1离散型随机变量的分布列例1一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．(1)求X的分布列；(2)求X的取值不小于4的概率．[解](1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6，P(X＝3)＝C33C36＝120，P(X＝4)＝C11C23C36＝320，P(X＝5)＝C11C24C36＝310，P(X＝6)＝C11C25C36＝12，答案所以随机变量X的分布列为X3456P12032031012(2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝320＋310＋12＝1920.答案拓展提升求离散型随机变量的分布列关键有三点：(1)随机变量的取值；(2)每一个取值所对应的概率；(3)用所有概率和是否为1来检验．[跟踪训练1]袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列．解X的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝15，第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝4×15×4＝15，第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝4×3×15×4×3＝15，答案第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝4×3×2×15×4×3×2＝15，第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝4×3×2×1×15×4×3×2×1＝15，所以X的分布列为X12345P1515151515答案探究2离散型随机变量分布列的性质例2设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i10(i＝1,2,3,4)，求：(1)P(X＝1或X＝2)；(2)P12X72.[解](1)P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝110＋210＝310.(2)P12X72＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝110＋210＋310＝35.答案拓展提升应熟悉分布列的基本性质：若随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，取这些值的概率为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，则①pi≥0，i＝1,2，…，n.②p1＋p2＋…＋pn＝1.此外，利用分布列的性质检验所求分布列的正误，是非常重要的思想方法．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．[跟踪训练2]设随机变量ξ的分布列Pξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求Pξ≥35；(3)求P110ξ710.解题目所给分布列为ξ1525354555Pa2a3a4a5a(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝115.答案(2)Pξ≥35＝Pξ＝35＋Pξ＝45＋Pξ＝55＝315＋415＋515＝45，或Pξ≥35＝1－Pξ≤25＝1－115＋215＝45.(3)因为110ξ710，所以ξ＝15，25，35.故P110ξ710＝Pξ＝15＋Pξ＝25＋Pξ＝35＝115＋215＋315＝25.答案探究3两点分布例3袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列．[解]从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下：X＝0，两球非全红，1，两球全红，则X显然服从两点分布，且P(X＝1)＝C210C215＝37，答案∴P(X＝0)＝1－37＝47，∴X的分布列为X01P4737答案拓展提升两点分布的特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；(2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))；(4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它(如本例中随机变量X)．[跟踪训练3]一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示产品为合格品，X＝1表示产品为次品，则X的分布列为X01Pab求a，b的值．解X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝1920；X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝120.答案探究4超几何分布例4某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数．(1)求X的分布列；(2)求至少有2名男生参加数学竞赛的概率．[解](1)依题意，随机变量X服从超几何分布，∴P(X＝m)＝Cm6C4－m4C410(m＝0,1,2,3,4)．∴P(X＝0)＝C06C44C410＝1210，答案P(X＝1)＝C16C34C410＝435，P(X＝2)＝C26C24C410＝37，P(X＝3)＝C36C14C410＝821，P(X＝4)＝C46C04C410＝114，∴X的分布列为X01234P121043537821114答案(2)解法一：(直接法)P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝37＋821＋114＝3742.解法二：(间接法)由分布列的性质，得P(X≥2)＝1－P(X2)＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)]＝1－1210＋435＝3742.答案拓展提升超几何分布的求解步骤(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．[跟踪训练4]在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．解(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．P(X＝1)＝C14C110＝410＝25，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35.因此X的分布列为X01P3525答案(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝C14C16＋C24C06C210＝3045＝23.②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝C04C26C210＝1545＝13，P(Y＝10)＝C13C16C210＝1845＝25，P(Y＝20)＝C23C06C210＝345＝115，答案P(Y＝50)＝C11C16C210＝645＝215，P(Y＝60)＝C11C13C210＝345＝115，因此随机变量Y的分布列为Y010205060P1325115215115答案1.离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.2.一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.3.两点分布：两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量.4.超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN求出X取不同值k时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M，N，n，k的含义.随堂达标自测1．设随机变量Y的分布列为：Y－123P14m14则“32≤Y≤72”的概率为()A.14B.12C.34D.23解析∵14＋m＋14＝1，∴m＝12，∴P32≤Y≤72＝P(2)＋P(3)＝34.解析答案C答案2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为()A.1220B.2755C.27220D.2125解析由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.解析答案C答案3．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是()A．都不是一等品B．恰有1件一等品C．至少有1件一等品D．至多有1件一等品解析“2件都是二等品”的概率P1＝C22C2