2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第一课时 等比数列的前n项

2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和[目标导航]课标要求1.掌握等比数列的前n项和公式,了解推导等比数列前n项和公式的过程与方法.2.能够运用等比数列的前n项和公式进行有关的计算.3.掌握等比数列的前n项和的性质及其应用.素养达成通过对等比数列的前n项和的学习,培养学生数学抽象、逻辑推理及数学建模能力.新知导学课堂探究1.等比数列的前n项和公式Sn=11,1,,1.1nnaqaaqqq新知导学·素养养成111naqq思考:在利用等比数列前n项和公式求和时,如何根据题设条件选用公式?答案:当已知a1,q,n时,选用公式Sn=111naqq(q≠1);当已知a1,an,q时,选用公式Sn=11naaqq(q≠1).2.等比数列的前n项和的性质(1)在公比不等于-1的等比数列{an}中,连续相同项数的和也成等比数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍成等比数列,其公比为qk.(2)当n为偶数时,偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比,即=q.(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,n∈N*),则数列{an}为等比数列,即Sn=Aqn-A⇔数列{an}为等比数列.SS偶奇名师点津对等比数列前n项和公式的三点说明(1)求和公式中是qn,通项公式中是qn-1,不要混淆.(2)在应用公式Sn=111naqq或Sn=11naaqq求和时,应注意公式的使用条件为q≠1,而当q=1时,应按常数列求和,即Sn=na1.因此,对含有字母参数的等比数列求和时,应分q=1与q≠1这两种情况进行讨论.(3)利用方程思想在a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn中,各已知三个量可求第四个量.课堂探究·素养提升题型一等比数列前n项和的基本运算解:(1)由题意知112(1)30(,15,1)5aqqaq解得1,55qa或1180,5,6qa从而Sn=14×5n+1-54或Sn=51080[1()]611n.[例1]在等比数列{an}中,(1)S2=30,S3=155,求Sn;解:(2)因为S6≠2S3,所以q≠1,又S3=72,S6=632,所以316117,12163=.12aqqaqq①②②÷①得1+q3=9,所以q=2.将q=2代入①中得a1=12,所以an=a1qn-1=12·2n-1=2n-2,即an=2n-2.(2)S3=72,S6=632,求an.方法技巧(1)解答关于等比数列的基本运算问题,通常是利用a1,an,q,n,Sn这五个基本量的关系列方程组求解,而在条件与结论间联系不很明显时,均可用a1与q列方程组求解.(2)运用等比数列的前n项和公式要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程组时,通常用两式相除约分的方法进行消元.解:设公比为q,由已知得3121151,105,4aqaqaqa即32112(1)10(1),5,4aqqqa①②②÷①得q3=18,即q=12,将q=12代入①得a1=8,所以a4=a1q3=8×(12)3=1,S5=5111aqq=518[1()]2112=312.即时训练1-1:已知等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,求其第4项及前5项和.54解:(1)①当q≠1时,S3=3111aqq=92,又a3=a1·q2=32,所以a1(1+q+q2)=92,即232q(1+q+q2)=92,解得q=-12(q=1舍去),所以a1=6.[备用例1](1)在等比数列{an}中,若a3=32,S3=92,求a1和公比q;②当q=1时,S3=3a1,所以a1=32,综上得1,1,26aq或11.32,qa解:(2)设{an}的公比为q,由已知得1121,6630,aqaqa解得1,23qa或13.2,qa①当a1=3,q=2时,an=a1·qn-1=3·2n-1,Sn=111naqq=3(12)12n=3(2n-1).②当a1=2,q=3时,an=a1·qn-1=2·3n-1,Sn=111naqq=2(13)13n=3n-1.综上,an=3·2n-1,Sn=3(2n-1)或an=2·3n-1,Sn=3n-1.(2)(2019·吉林长春检测)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.题型二等比数列前n项和的性质解:(1)法一因为数列{an}是等比数列,所以S6=S3+q3S3,S9=S6+q6S3=S3+q3S3+q6S3,于是63SS=3331qSS=3,即1+q3=3,亦即q3=2.于是96SS=36311qqq=12412=73.故选B.[例2](1)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若63SS=3,则96SS等于()(A)2(B)73(C)83(D)3法二由63SS=3得S6=3S3.因为数列{an}是等比数列,所以S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),解得S9=7S3,所以96SS=73.故选B.答案:(1)B(2)等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=.解:(2)由题意知,240,80,SSSS奇偶奇偶所以80,160.SS奇偶所以公比q=SS偶奇=16080=2.答案:(2)2方法技巧(2)等比数列的项数是偶数时,SS偶奇=q;等比数列的项数是奇数时,1SaS奇偶=q.等比数列前n项和的重要性质(1)等比数列{an}的前n项和Sn,满足Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比数列(其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均不为0),这一性质可直接应用.即时训练2-1:等比数列{an}的前5项和S5=10,前10项和S10=50,则它的前15项和S15=.解析:由等比数列前n项和的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,故(S10-S5)2=S5(S15-S10),即(50-10)2=10(S15-50),解得S15=210.答案:210(1)解析:设公比为q,由25122,[1()]185,14SqSaqSq偶奇奇得11,42.qa所以S=a3+a6+a9+a12=a3(1+q3+q6+q9)=a1q2·12311qq=585.[备用例2](1)(2019·济南高二检测)已知等比数列的前10项中,所有奇数项之和为8514,所有偶数项之和为17012,则S=a3+a6+a9+a12的值为.答案:585(2)等比数列{an}中,S4=1,S8=3,求a17+a18+a19+a20的值.(2)解:法一设首项为a1,公比为q,因为S4=4111aqq=1,①S8=8111aqq=3,②由②①,得q4=2.所以a17+a18+a19+a20=S20-S16=20111aqq-16111aqq=164111aqqq=1·q16=24=16.法二设S4=a,S8-S4=b,S12-S8=c,S16-S12=d,S20-S16=e,则a,b,c,d,e又成等比数列.则a=1,b=3-1=2,所以此数列的公比为2.所以e=a·24=1·24=16.题型三等比数列的综合应用[例3]已知数列{an}的前n项和Sn=2n-n2,an=log5bn,其中bn0,求数列{bn}的前n项和Tn.规范解答:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-n2)-[2(n-1)-(n-1)2]=-2n+3,……………………………………………2分当n=1时,a1=S1=2×1-12=1也适合上式,所以{an}的通项公式为an=-2n+3(n∈N*).………4分又an=log5bn,所以log5bn=-2n+3,………………6分于是bn=5-2n+3,bn+1=5-2n+1,所以1nnbb=212355nn=5-2=125.……………………………8分因此{bn}是公比为125的等比数列,且b1=5-2+3=5,…10分于是{bn}的前n项和Tn=15[1()]251125n=12524[1-(125)n].…………………12分方法技巧在解决等差、等比数列的综合题时,重点在于读懂题意,而正确利用等差、等比数列的定义,通项公式及前n项和公式是解决问题的关键.转化为等差数列或等比数列,特别注意an=Sn-Sn-1(n≥2,n为正整数)在an与Sn的关系中的应用.即时训练3-1:(2019·天津高二检测)已知{an}为首项是正数的等比数列,前n项和Sn=80,前2n项和S2n=6560,在前n项中数值最大者为54,求通项an.解:因为Sn=80,S2n=6560,故q≠1.所以121180,116560.1nnaqqaqq①②②÷①得1+qn=82,所以qn=81.③将③代入①,得1801aq=80,所以a1=q-1,而a10,所以q1,等比数列{an}为递增数列.故an=54,即a1qn-1=54,④将③代入④,得a1=23q.则111,2,3aqaq所以12,3.aq所以an=2·3n-1(n∈N*).[备用例3](1)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.①求{an}的公比q;解:(1)①因为S1,S3,S2成等差数列,所以2S3=S1+S2,显然{an}的公比q≠1,于是31211aqq=a1+2111aqq,即2(1+q+q2)=2+q,整理得2q2+q=0,所以q=-12(q=0舍去).②若a1-a3=3,求Sn.解:②因为q=-12,又a1-a3=3,所以a1-a1·(-12)2=3,解得a1=4.于是Sn=14[1()]211()2n=83[1-(-12)n].(2)(2019·福州高二检测)已知等差数列{an}的前5项和为105,且a10=2a5.①求数列{an}的通项公式;解:(2)①设数列{an}的公差为d,前n项和为Tn,由T5=105,a10=2a5,得1115515105,2924,adadad解得a1=7,d=7.因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N*).②对任意m∈N*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm.解:②对m∈N*,若an=7n≤72m,则n≤72m-1.因此bm=72m-1.所以数列{bm}是首项为7,公比为49的等比数列,故Sm=111mbqq=7149149m=277148m=217748m.题型四易错辨析——忽略对公比q的讨论致误错解:由等比数列的前n项和公式得:S3=3111aqq=3211qq=6,所以q=-2,所以a3=a1q2=2×(-2)2=8,所以q=-2,a3=8.[例4]已知等比数列{an}中,a1=2,S3=6,求a3和q.纠错:(1)求解过程中,由于没有讨论公比q是否为1,就直接使用了等比数列的前n项和公式Sn=111naqq,从而导致漏解.(2)在求等比数列前n项和Sn时,如果不明确q的具体情况,不能直接套用前n项和公式,要记住对q=1和q≠1进行讨论.正解:若q=1,则S3=3a1=6,符合题意.此时,q=1,a3=a1=2.若q≠1,则由等比数列的前n项和公式,得S3=3111aqq=3211qq=6,解得q=1(舍去)或q=-2.此时,a3=a1q2=2×(-2)2=8.综上所述,q=1,a3