2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 4 平面向量的坐标课件 北师大版必修4

1．已知向量a，b的坐标，a＋b，a－b，λa的坐标怎样计算？2．向量uuurAB的坐标与A，B的坐标有何关系？3．向量平行的坐标表示是什么？§4平面向量的坐标一、预习教材·问题导入1．平面向量的坐标在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为．对于平面内的任意向量a，有且只有对实数x，y使得a＝xi＋yj，我们把实数对叫作向量a的坐标，记作．基底一(x，y)a＝(x，y)二、归纳总结·核心必记2．平面向量的坐标运算文字符号加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝数乘向量实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝重要结论一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标已知向量uuurAB的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则uuurAB＝(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)(x2－x1，y2－y1)[点睛](1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b等价于它们对应的坐标相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.(2)符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中常说点(x，y)或向量的坐标为(x，y)．3．向量平行的坐标表示设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当a∥b时，有.(2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们．x1y2－x2y1＝0成比例平行x1x2＝y1y2[点睛](1)向量平行的坐标表示是根据共线向量定理推出的，当向量b＝(x2，y2)的坐标满足x2y2≠0时，才有x1x2＝y1y2成立．(2)对于任意两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有a∥b⇔x1y2＝x2y1，简记为“纵横交错，积相等”．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量uuurAB的坐标与向量uurBA的坐标相同()(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a∥b，则有x1x2＝y1y2()(3)向量的坐标和点的坐标意义相同()×××三、基本技能·素养培优2．已知uuurAB＝(－2,4)，则下面说法正确的是()A．A点的坐标是(－2,4)B．B点的坐标是(－2,4)C．当B点是原点时，A点的坐标是(－2,4)D．当A点是原点时，B点的坐标是(－2,4)解析：选D由任一向量的坐标的定义可知，当A点是原点时，B点的坐标是(－2,4)．3．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()A．(7,3)B．(7,7)C．(1,7)D．(1,3)解析：选A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．4．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)且uuurAB与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.解析：由题意得B点坐标为(5,4)，则uuurAB＝(4,6)．又uuurAB与a共线，∴4λ－6＝0，即λ＝32.答案：32[典例](1)如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.考点一平面向量的坐标表示(2)已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA―→|＝43，∠xOA＝60°，①求向量OA―→的坐标；②若B(3，－1)，求BA―→的坐标．[解析](1)将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4,0)，b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．[答案](－4,0)(0,6)(－2，－5)(2)①设点A(x，y)，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，OA―→＝(23，6)．②BA―→＝OA―→－OB―→＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．[类题通法]求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[针对训练]如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求DF―→的坐标．解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，∴AB―→＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，AC―→＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．又∵D是BC的中点，∴AD―→＝12AB―→＋AC―→＝12(－4－3，－3－5)＝12(－7，－8)＝－72，－4.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴F为AD的中点．∴DF―→＝－FD―→＝－12AD―→＝－12－72，－4＝74，2.[典例](1)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝()A．(2,1)B．(－2,1)C．(1,2)D．(－1,2)(2)已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(4,6)，B(7，6)，C(1,8)，D为BC的中点，求向量uuurAB，uuurAD，uuurBC.考点二平面向量的坐标运算[解析](1)12a－32b＝12(1,1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32＝(－1,2)．[答案]D(2)解：∵B(7,6)，C(1,8)，D为BC的中点，∴由中点坐标公式，得D7＋12，6＋82，即D(4,7)．∴uuurAB＝(3,0)，uuurAD＝(0,1)，uuurBC＝(－6,2)．[类题通法]平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[针对训练]设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)解析：选D∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6).考点三平面向量平行的坐标表示及其应用[典例](1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于()A.12B.13C．1D．2(2)如果向量AB―→＝i－2j，BC―→＝i＋mj，其中i，j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A，B，C三点共线．[解析](1)法一：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.法二：假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，从而1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以1λ＝21，即λ＝12.[答案]A(2)法一：∵A，B，C三点共线，∴AB―→，BC―→共线．∴存在实数λ使得AB―→＝λBC―→，即i－2j＝λ(i＋mj)．于是λ＝1，λm＝－2，∴m＝－2，即m＝－2时，A，B，C三点共线．法二：依题意知i＝(1,0)，j＝(0,1)．则AB―→＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC―→＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．由题知AB―→，BC―→共线，∴1×m－1×(－2)＝0，m＝－2.∴当m＝－2时，A，B，C三点共线．[类题通法]利用向量平行的条件处理求值问题的思路(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．1．已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB―→与CD―→是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：AB―→＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD―→＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB―→，CD―→共线．又CD―→＝－2AB―→，∴AB―→，CD―→方向相反．综上，AB―→与CD―→共线且方向相反．[针对训练]2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，求实数x的值．解：法一：因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，由a＋b与4b－2a平行，得3(4x－2)－6(x＋1)＝0，解得x＝2.法二：由于a＋b与4b－2a平行，故存在常数λ，使a＋b＝λ(4b－2a)，即(2λ＋1)a＝(4λ－1)b，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故1×x－1×2＝0，解得x＝2.