2019-2020学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3

一、各种运算的坐标表示设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则向量运算坐标表示加法a＋b＝减法a－b＝数乘λa＝(λ∈R)数量积a·b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)(x1－x2，y1－y2，z1－z2)(λx1，λy1，λz1)x1x2＋y1y2＋z1z2二、平行、垂直、模长、夹角的坐标表示设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)若b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔(λ∈R)；(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔，|a|＝a2＝，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝(a≠0，b≠0)．三、空间向量的坐标表示若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB→＝．x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2x1x2＋y1y2＋z1z2＝0x21＋y21＋z21x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22(x2－x1，y2－y1，z2－z1)[疑难提示]空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算之间的关系空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算的基本思想方法、形式都类似，只不过从二维运算到三维运算而已，仅多了一项竖坐标，其运算法则与横、纵坐标一致．[想一想]1．把向量AB→＝(x，y，z)平移后，其坐标如何变化？提示：点A，B的坐标会发生变化，向量AB→的坐标不变．[练一练]2．已知a＝(1,2，－3)，b＝(5，－7,8)，则2a＋b的坐标为()A．(7，－3,2)B．(6，－5,5)C．(6，－3,2)D．(11，－12,13)解析：2a＋b＝2(1,2，－3)＋(5，－7,8)＝(2,4，－6)＋(5，－7,8)＝(7，－3,2)．答案：A3．已知a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则a·b的值为()A．20B．－29C．－20D．29解析：a·b＝(2，－3,5)·(－3,1，－4)＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－6－3－20＝－29.答案：B探究一利用坐标表示空间向量[典例1]已知O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别是(2，－1,2)、(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P的坐标，使：(1)OP→＝12(AB→－AC→)；(2)AP→＝12(AB→－AC→)．[解析]由已知可得：AB→＝(4,5，－1)－(2，－1,2)＝(2,6，－3)，AC→＝(－2,2,3)－(2，－1,2)＝(－4,3,1)．(1)OP→＝12(AB→－AC→)＝12[(2,6，－3)－(－4,3,1)]＝(3，32，－2)，所以P点的坐标为(3，32，－2)．(2)设P(x，y，z)，则AP→＝(x－2，y＋1，z－2)．因为12(AB→－AC→)＝(3，32，－2)，所以AP→＝(x－2，y＋1，z－2)＝(3，32，－2)，解得：x＝5，y＝12，z＝0，则P点的坐标为(5，12，0)．建立空间直角坐标系来求点或向量的坐标，关键在于建系，建系的关键是要有特殊的图形环境：有公共顶点的两两垂直的三条线．若图中没有这样的环境，第一步就是选择或创造(作辅助线)建立空间直角坐标系的适宜环境．1．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝14A1B1，则BE1→＝()A.0，14，－1B.－14，0，1C.0，－14，1D.14，0，－1解析：由于B(1,1,0)，E11，34，1，所以BE1→＝0，－14，1.答案：C2.如图，直三棱柱ABC­A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立适当的空间直角坐标系，并求向量BN→，BA1→，A1B→，C1M→的坐标．解析：以C点为坐标原点，分别以CA→、CB→、CC1→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．BN→＝(1，－1,1)，BA1→＝(1，－1,2)，A1B→＝(－1,1，－2)，C1M→＝(12，12，0)．探究二坐标形式下平行与垂直条件的应用[典例2]已知空间三点A(－1,1,3)，B(0,2,3)，C(－2,1,5)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)若|c|＝3，且c∥BC→，求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值；(3)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与y轴垂直，求λ，μ满足的关系式．[解析](1)∵c∥BC→，∴c＝mBC→＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)(m∈R)，∴|c|＝－2m2＋－m2＋2m2＝3|m|＝3，∴m＝±1，∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.又|a|＝12＋12＋0＝2，|b|＝－12＋0＋22＝5，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－52.(3)∵a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，∴λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)，由[λ(a＋b)＋μ(a－b)]·(0,1,0)＝λ＋μ＝0，得λ＋μ＝0，即当λ与μ满足关系式λ＋μ＝0时，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)与y轴垂直．用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：(1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(b为非零向量)，则a∥b⇔x1＝λx2，且y1＝λy2且z1＝λz2(λ∈R)．若b＝0时，必有a∥b，必要时应对b是否为0进行讨论．(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.3.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．解析：法一：设M(x，y，z)，由图可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则AC1→＝(－a，a，a)，AM→＝(x－a，y，z)，BM→＝(x－a，y－a，z)．∵BM→⊥AC1→，∴BM→·AC1→＝0，∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，即x－y－z＝0.①又∵AC1→∥AM→，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②由①②得x＝2a3，y＝a3，z＝a3.∴M2a3，a3，a3.法二：设AM→＝λAC1→＝(－aλ，aλ，aλ)，∴BM→＝BA→＋AM→＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ)＝(－aλ，aλ－a，aλ)．∵BM⊥AC1，∴BM→·AC1→＝0即a2λ＋a2λ－a2＋a2λ＝0，解得λ＝13，∴AM→＝－a3，a3，a3，DM→＝DA→＋AM→＝2a3，a3，a3.∴M点坐标2a3，a3，a3.4．已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c.(1)求向量a，b，c；(2)求a＋c与b＋c所成角的余弦值．解析：(1)∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，∴x1＝1y＝2－2，3＋y－2z＝0解得x＝－1y＝－1z＝1，∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)．(2)∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a＋c|＝22＋22＋32＝17，|b＋c|＝42＋02＋－12＝17，∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为a＋c·b＋c|a＋c||b＋c|＝517.探究三空间向量坐标的基本运算及其应用空间向量坐标的基本运算及其应用——利用运算法则进行基本运算—求解向量的夹角—求解向量的长度—坐标运算的综合应用5．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)；(6)以a，b为邻边的平行四边形的面积．解析：(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)．(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)．(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝－7.(4)2a·(－b)＝2(2，－1，－2)·[－(0，－1,4)]＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)＝14.(5)(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝－8.(6)∵cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－7317＝－71751，∴sin〈a，b〉＝226317，∴S▱＝|a||b|sin〈a，b〉＝3×17×226317＝226.6．设空间两个单位向量OA→＝(m，n,0)，OB→＝(0，n，p)，它们与OC→＝(1,1,1)的夹角都等于π4，求cos∠AOB.解析：由题意得：|OA→|＝m2＋n2＝1，|OB→|＝n2＋p2＝1，|OC→|＝12＋12＋12＝3，cos〈OA→，OC→〉＝cosπ4＝OA→·OC→|OA→||OC→|＝m＋n1×3＝m＋n3＝22.同理可得：cos〈OB→，OC→〉＝cosπ4＝OB→·OC→|OB→||OC→|＝n＋p1×3＝n＋p3＝22.可以解得：n＝6±24.∴cos∠AOB＝cos〈OA→，OB→〉＝OA→·OB→|OA→||OB→|＝OA→·OB→＝n2＝2±34.7．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，P，Q分别为A1B1，A1A的中点．(1)求BQ→的长；(2)求cos〈BQ→，CB1→〉，cos〈BA1→，CB1→〉，并比较〈BQ→，CB1→〉与〈BA1→，CB1→〉的大小；(3)求证：AB1→⊥C1P→.解析：(1)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0，0,2)，P12，12，2，Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．∴BQ→＝(1，－1,1)，CB1→＝(0,1,2)，BA1→＝(1，－1,2)，AB1→＝(－1,1,2)，C1P→＝12，12，0，∴|BQ→|＝12＋－12＋12＝3.(2)∵BQ→·CB1→＝0－1＋2＝1，|BQ→|＝3，|CB1→|＝5，∴cos〈BQ→，CB1→〉＝13×5＝1515.又BA1→·CB1→＝0－1＋4＝3，|BA1→|＝6，|CB1→|＝5，∴cos〈BA1→，CB1→〉＝36×5＝3010.又0151530101，∴〈BQ→，CB1→〉，〈BA1→，CB1→〉∈0，π2.又y＝cosx在0，π2内单调递减，∴〈BQ→，CB1→〉〈BA1→，CB1→〉．(3)证明：∵AB1→·C1P→＝(－1,1,2)·12，12，0＝0，∴AB1→⊥C1P→.8．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝13GD，H为C1G的中点，(1)求证：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求FH的长．解析：以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则有E(0,0，12)，F(12，12，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1，1)，G(0，34，0)．(1)证明：∵EF→＝(12，12，0)－(0,0，12)＝(12，12，－12)，B1C→＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，∴EF→·B1C→＝12×(－1)＋12×0＋(－12)×(－1)＝－12＋0＋12＝0.∴EF→⊥B1C→，即EF⊥B1C.(2)∵C1G→＝(0，34，0)－(0,1,1)＝(0，－14，－1)，∴|C1G→|＝174.又∵EF→·