2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.1 直线与平面平行的判

知识导图学法指导1.在进行线面平行、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从线线平行到线面平行，再到面面平行．2．使用线面平行、面面平行的判定定理时，一定要特别注意定理的使用条件，这些条件有很强的制约性，但它们也是我们解题时打开思路的突破口．高考导航1.判定直线与平面平行：在高考中常有考查，多在解答题的第一问出现，难度不大，分值5～7分．2．判定平面与平面平行：在高考中较少单独考查，一般以选择题或填空题的形式出现，以符号语言为载体，综合考查直线与平面、平面与平面等的位置关系，难度中等，分值5分.知识点一直线与平面平行的判定文字语言______一条直线与此______的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形语言符号语言____________________用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α；(2)直线b在平面α内，即b⊂α；(3)两直线a，b平行，即a∥b.平面外平面内a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α知识点二平面与平面平行的判定文字语言一个平面内的________直线与另一个平面平行，则这两个平面平行图形语言符号语言a⊂βb⊂β________a∥αb∥α⇒β∥αa∩b＝P两条相交1．平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．2．面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.()(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．()(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．()×××2．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上都不对解析：当每个平面内的两条直线都是相交直线时，可推出两个平面一定平行，否则，两个平面有可能相交．答案：C3．下列结论正确的是()A．过直线外一点，与该直线平行的平面只有一个B．过直线外一点，与该直线平行的直线有无数条C．过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条D．过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行解析：过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条，只要直线与平面无公共点，就是直线与平面平行．答案：C4．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交解析：因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.答案：D类型一直线与平面平行的判定例1如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.【证明】如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.在平面A1CD内找到与BC1平行的直线，利用直线与平面平行的判定定理证明．方法归纳(1)直线与平面平行的判定定理的应用步骤①线与线平行；②一条线在已知平面内；③一条线在已知平面外．(2)中点的应用在题目中出现中点时，常见的证线线平行的两种途径：①中位线→线线平行；②平行四边形→线线平行．跟踪训练1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB.∵OF綊12B1C1，BE綊12B1C1，∴OF綊BE，∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO.∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1.要证EF∥平面BDD1B1，从平面BDD1B1中寻找一条直线与EF平行是证明的关键．类型二平面与平面平行的判定例2如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，CD，A′B′，C′D′的中点．求证：平面A′EFD′∥平面BCF′E′.【证明】∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，∴A′E′綊BE，∴四边形A′EBE′为平行四边形，∴A′E∥BE′.∵A′E⊄平面BCF′E′，BE′⊂平面BCF′E′，∴A′E∥平面BCF′E′.同理，A′D′∥平面BCF′E′.又A′E∩A′D′＝A′，∴平面A′EFD′∥平面BCF′E′.由平面与平面平行的判定定理知，要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线与另一个平面平行即可．方法归纳利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．跟踪训练2如图所示，点B为△ACD所在平面外一点，点M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．求证：平面MNG∥平面ACD.证明：连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于点P，F，H.∵点M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，∴BMMP＝BNNF＝BGGH＝2.连接PF、FH，PH，则有MN∥PF.又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理可得MG∥平面ACD，又∵MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.类型三线面平行、面面平行的综合应用例3在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G，H分别为CC′，C′D′，DD′，CD的中点，N为BC的中点，试在E，F，G，H四点中找两点，使这两个点与点N确定一个平面α且平面α∥平面BB′D′D.【解析】如图，连接HN，由中位线定理得，HN∥BD.∵BD⊂平面BB′D′D，HN⊄平面BB′D′D，∴HN∥平面BB′D′D.连接HF，则HF∥DD′，∵DD′⊂平面BB′D′D，HF⊄平面BB′D′D，∴HF∥平面BB′D′D.又HN∩HF＝H，连接FN，则平面HFN∥平面BB′D′D，∴H，F，N三点确定的平面α与平面BB′D′D平行．由平面与平面平行的判定定理知，只需所找的两点与点N构成的直线中，有两条相交直线与平面BB′D′D平行即可．方法归纳线面、面面平行综合应用的策略(1)在立体几何中常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的．(2)因为线线平行――→判定定理线面平行――→判定定理面面平行，所以对于平行关系的综合问题的解决，必须要灵活运用三种平行关系的判定定理．跟踪训练3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解析：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，DE，EF，则DF∥B1C1，∵DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1.∵E为AB的中点，F为BB1的中点，∴EF∥AB1，∵EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.又EF∩DF＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.先借助图形确定E为AB的中点，再给出证明.