2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数和对数函数 5 对数函数 5.3 对数函数的图像和性

第三章指数函数和对数函数§5对数函数5.3对数函数的图像和性质学习目标核心素养1.掌握对数函数的图像和性质．(重点)2．掌握对数函数的图像和性质的应用．(难点)3．体会数形结合的思想方法.1.通过对对数函数图像和性质的应用，体会数学抽象素养．2．通过数形结合思想的应用，提升直观想象素养.自主探新知预习对数函数的图像和性质阅读教材P93～P96有关内容，完成下列问题．思考：函数y＝logax与y＝log1ax的图像有什么关系？[提示]y＝log1ax＝logaxloga1a＝－logax，所以，它们关于x轴对称．1．如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a取3，43，35，110，则相应于c1，c2，c3，c4的a值依次为()A.3，43，35，110B．3，43，110，35C.43，3，35，110D．43，3，110，35A[先排c1，c2底的顺序，底都大于1，当x1时图低的底大，c1，c2对应的a分别为3，43.然后考虑c3，c4底的顺序，底都小于1，当x1时底大的图高，c3，c4对应的a分别为35，110.综合以上分析，可得c1，c2，c3，c4的a值依次为3，43，35，110.故选A.]2．函数f(x)＝log2.5x的值域为________．[答案]R3．函数y＝log2x2的单调递增区间是________．(0，＋∞)[由x20，得x≠0，令u＝x2，则u在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝log2u在(0，＋∞)上单调递增，则y＝log2x2的单调递增区间是(0，＋∞)．]4．函数y＝的定义域是________．(0,1][由log12x≥0，得0x≤1，所以，其定义域为(0,1]．]合作攻重难探究比较大小【例1】比较大小：(1)log0.31.8，log0.32.7；(2)log67，log76；(3)log3π，log20.8；(4)log712，log812.[思路探究](1)底数相同，可利用单调性比较；(2)与1比较；(3)与0比较；(4)可结合图像比较大小．[解](1)考查对数函数y＝log0.3x，∵00.31，∴它在(0，＋∞)上是减函数，∴log0.31.8log0.32.7；(2)∵log67log66＝1，log76log77＝1，∴log67log76；(3)∵log3πlog31＝0，log20.8log21＝0，∴log3πlog20.8；(4)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log712log812.法二：∵log712－log812＝lg12lg7－lg12lg8＝lg12lg8－lg7lg7lg80，∴log712log812.比较对数大小的思路1底数相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比较大小；2底数不同，真数相同的几个数，可通过图像比较大小，也可通过换底公式比较大小；3底数不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比较大小，常用的特殊值是“0”或“1”.1．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()A．cbaB．bcaC．acbD．abcD[a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72.∵log32＞log52＞log72，∴a＞b＞c，故选D.]对数函数的图像及应用【例2】已知函数y＝loga(x＋b)（c0，且a≠1）的图像如图所示．(1)求实数a与b的值；(2)函数y＝loga(x＋b)与y＝logax的图像有何关系？[解](1)由图像可知，函数的图像过点(－3,0)与点(0,2)，所以得方程0＝loga(－3＋b)与2＝logab，解得a＝2，b＝4.(2)函数y＝loga(x＋4)的图像可以由y＝logax的图像向左平移4个单位得到．解决对数函数图像问题的注意事项1明确对数函数图像的分布区域.对数函数的图像在第一、四象限.当x趋近于0时，函数图像会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交.2建立分类讨论的思想.在画对数函数图像之前要先判断对数的底数a的取值范围是a1，还是0a1.3牢记特殊点.对数函数y＝logaxa0，且a≠1的图像经过点：1，0，a，1和2．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域与值域以及单调区间：(1)y＝log3(x－2)；(2)y＝|log12x|.[解](1)函数y＝log3(x－2)的图像可看作把函数y＝log3x的图像向右平移2个单位得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增加的．(2)y＝|log12x|＝其图像如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1)上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的.与logaf(x)型函数的单调性有关的问题[探究问题]1．求函数y＝log2(－x2＋2x＋3)的单调区间．提示：由－x2＋2x＋30，得－1x3.令u＝－x2＋2x＋3，则u在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y＝log2u是增函数．则y＝log2(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．2．已知函数y＝log12(x2－ax＋a)在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a的取值范围．提示：依题意，a2≥2，22－2a＋a0，解得22≤a22＋2.【例3】已知函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．[思路探究]从u＝6－ax是减函数及u0入手，分析a满足的条件．[解]令u＝6－ax，∵a0且a≠1，∴u是减函数，又f(x)在[0,2]上为减函数，则y＝logau是增函数，所以，a1，由u＝6－ax在[0,2]恒大于0，得6－2a0.解得a3.综上得1a3.函数y＝logafx的单调性可通过y＝logau与u＝fx的单调性来判断.当y＝logau与u＝fx的单调性相同时，y＝logafx单调递增；当y＝logau与u＝fx的单调性相反时，y＝logafx单调递减.3．(1)已知log0.7(2x)log0.7(x－1)，则x的取值范围是________．(2)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于________．(1)(1，＋∞)(2)12[(1)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，所以由log0.7(2x)log0.7(x－1)得2x0，x－10，2xx－1，解得x1.即x的取值范围是(1，＋∞)．(2)当0a1时，因为y＝ax在[0,1]上为减函数，y＝loga(x＋1)在[0,1]上也是减函数，所以f(x)在[0,1]上为减函数，所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋loga2，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝12；同理，当a1时，f(x)在[0,1]上为增函数，所以f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝1，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝12，与a1矛盾．综上，a＝12.]1．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图像，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．2．需要注意的问题(1)由logaf(x)logag(x)利用单调性去掉对数符号时，务必保证f(x)0，g(x)0，否则就扩大了自变量的取值范围．(2)复合函数的单调性规律“同增异减”：内、外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内、外层函数单调性相反时，复合函数为减函数.当堂固双基达标1．思考辨析(1)对数函数y＝logaxa0，且a≠1在(0，＋∞)上是增函数．()(2)若logπmlogπn，则mn.()(3)对数函数y＝log2x与y＝log12x的图像关于y轴对称．()[答案](1)×(2)√(3)×2．已知loga121，则a的取值范围是()A．0a12B．a12C.12a1D．0a12，或a1D[当0a1时，loga121＝logaa，∴0a12；当a1时，loga121＝logaa，∴a1.综上得，0a12，或a1.]3．函数y＝log2(x2－1)的递增区间是________．(1，＋∞)[由x2－10，得x1，或x－1.令u＝x2－1，则u在(－∞，－1)上递减，在(1，＋∞)上递增，又y＝log2a是增函数，则y＝log2(x2－1)的递增区间是(1，＋∞)．]4．求函数y＝(log13x)2＋log13x的单调区间．[解]令u＝log13x，则y＝u2＋u.由y＝u2＋u＝u＋122－14，得y＝u2＋u在－∞，－12上单调递减，在－12，＋∞上单调递增．由log13x≤－12，得x≥3；由log13x≥－12，得0x≤3.又u＝log13x是减函数．则y＝(log13x)2＋log13x递增区间是[3，＋∞)；递减区间是(0，3]．Thankyouforwatching!