2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选

第三章导数及其应用3．3导数在研究函数中的应用3．3.2函数的极值与导数梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．理解函数极大值、极小值的概念．2．会用导数求不超过三次函数的极大值、极小值．‖知识梳理‖1．极值点与极值(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)0f′(x)0(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧___________，右侧___________，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．___________、___________统称为极值点，___________和___________统称为极值．f′(x)0f′(x)0极大值点极小值点极大值极小值2．求可导函数极值的步骤(1)确定函数的定义域，并求___________；(2)解出方程___________的根；(3)对于方程f′(x)＝0的每一个根x0，分析f′(x)在x0___________两侧的符号，确定极值．①若f′(x)在x0的左右两侧“___________”，则f(x0)为极大值，x0为极大值点；f′(x)f′(x)＝0左右附近左正右负②若f′(x)在x0两侧“___________”，则f(x0)为极小值，x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号“___________”，则x0不是极值点，f(x0)不是极值．左负右正相同解剖难点探究提高重点难点突破1．对极值概念的理解(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点x0的左右两侧附近的点而言的．(2)极值点是函数定义域内的点，而定义域的端点不是极值点．(3)若f(x)在[a，b]有极值，则f(x)在[a，b]内不是单调函数，或者说，在定义域内的单调函数没有极值点．(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在定义域内可以有多个极大值和极小值．在某一点的极大值可能小于另一点的极小值，极小值也不一定比极大值小，如图所示．(5)若f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样两个极小值点之间必有一个极大值点．2．极值点的充分条件和必要条件可导函数的极值点一定是其导数为零的点；但是导数为零的点不一定是极值点．因此，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要不充分条件．其充分条件是x0两侧的导数异号．例如：①f(x)＝x2，f′(0)＝0，x＝0是极小值点；②f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一求函数的极值求函数y＝3x3－x＋1的极值．【思路探索】按求极值的方法步骤求解，为了表述简单清楚，可采用表格的形式表达．【解】易知函数的定义域为R，∵y′＝9x2－1.令y′＝0，解得x1＝－13，x2＝13，当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x－∞，－13－13－13，131313，＋∞y′＋0－0＋y极大值119极小值79因此，当x＝－13时，y有极大值119；当x＝13时，y有极小值79.(2019·定远月考)已知函数f(x)＝alnx＋12x2－(a＋1)x＋1.(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；(2)若a1，求f(x)在区间(0，＋∞)上的极大值与极小值．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝2时，f(x)＝2lnx＋12x2－3x＋1，∴f′(x)＝2x＋x－3＝x2－3x＋2x，由f′(x)0，得1x2，∴f(x)的单调递减区间为(1,2)．(2)f′(x)＝ax＋x－(a＋1)＝x2－a＋1x＋ax＝x－1x－ax.由f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a，∵a1，∴当0x1时，f′(x)0，f(x)在(0,1)上是增函数；当1xa时，f′(x)0，f(x)在(1，a)上是减函数；当xa时，f′(x)0，f(x)在(a，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，f(x)有极大值，f(1)＝12－a；当x＝a时，f(x)有极小值，f(a)＝alna－12a2－a＋1.题型二极值的应用已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时，都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．【思路探索】(1)求f′(x)，则f′(1)＝0，f′－23＝0，解方程组得a，b的值；(2)由a，b的值可得f′(x)，解f′(x)0得递增区间，解f′(x)0得递减区间，从而进一步可得极值．【解】(1)∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题设知f′1＝0，f′－23＝0，即3＋2a＋b＝0，43－43a＋b＝0.解得a＝－12，b＝－2.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－12＋2＋c＝32，得c＝1.∴f(x)＝x3－12x2－2x＋1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－23－23－23，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值4927极小值－12∴f(x)的递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间为－23，1.∴当x＝－23时，f(x)有极大值，f－23＝4927；当x＝1时，f(x)有极小值，f(1)＝－12.[名师点拨]已知一个函数，可以用单调性研究它的极值，反过来，已知函数的极值，可以确定函数解析式中的参数．解决这类问题，通常用导数为零建立关于参数的方程组求解.(2019·冀州月考)若f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则ab的值为________．解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得f1＝1＋a＋b－a2－7a＝10，f′1＝3＋2a＋b＝0，解得a＝－2，b＝1，a＝－6，b＝9.当a＝－2，b＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，当x1时，f′(x)0，当13x1时，f′(x)0，∴f(x)在x＝1处有极小值，不符合题意，舍去；当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，当x1时，f′(x)0，当1x3时，f′(x)0，∴f(x)在x＝1处有极大值，符合条件，∴ab＝－6×9＝－54.答案：－54题型三与导数有关的综合问题已知函数f(x)＝x3－2x2＋x－2，g(x)＝f(x)＋13mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值．【思路探索】先求g′(x)，用判别式Δ判别g′(x)＝0解的情况．列表求极值点．【解】∵g(x)＝f(x)＋13mx＝x3－2x2＋x－2＋13mx，∴g′(x)＝3x2－4x＋1＋13m.当Δ≤0时，g′(x)≥0恒成立，函数g(x)单调递增，无极值．当Δ0时，g′(x)＝0有实数根．由Δ＝16－121＋13m0，得m1.当m1时，g′(x)＝0有两个实数根x1＝13(2－1－m)，x2＝13(2＋1－m)．当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)g(x1)g(x2)故在m∈(－∞，1)时，函数g(x)有极值，当x＝13(2－1－m)时，g(x)取得极大值；当x＝13(2＋1－m)时，g(x)取得极小值．[名师点拨](1)函数y＝f(x)有极值，则存在x0，使f′(x0)＝0，且f′(x)在x0两侧符号相反．对于三次函数有极值问题，可转化为其导函数(二次函数)有变号零点(Δ0)．(2)函数在定义域(或其子区间)内无极值的条件是单调函数．对于三次函数无极值的问题，可转化为导函数(二次函数)没有变号零点(Δ≤0).(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f′(x)＝lnx＋x－1x－1＝lnx－1x，易知f′(x)单调递增，又f′(1)＝－10，f′(2)＝ln2－12＝ln4－120，∴存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0，当0xx0时，f′(x)0，f(x)单调递减，当xx0时，f′(x)0，f(x)单调递增，∴f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知，f(x0)f(1)＝－2，f(e2)＝e2－30，∴f(x)在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α，由1x0α，∴1α1x0，f1α＝1α－1ln1α－1α－1＝fαα＝0，故1α是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根，综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根为倒数．即学即练稳操胜券课堂基础达标1．(2019·石家庄月考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，则函数y＝－xf′(x)的图象可能是()解析：∵函数f(x)在x＝1处取得极大值，∴当0x1时，f′(x)0，y＝－xf′(x)0，排除A、D；当x1时，f′(x)0，y＝－xf′(x)0，排除C，故选B.答案：B2．关于函数的极值，下列说法正确的是()A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值D．若f(x)在区间(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案：D3．设函数f(x)＝13x3－x＋m的极大值为1，则函数f(x)的极小值为()A．－13B．－1C.13D．1解析：∵f′(x)＝x2－1＝(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x－1或x1时，f′(x)0，f(x)为增函数，当－1x1时，f′(x)0，f(x)为减函数，∴当x＝－1时，f(x)有极大值，∴f(－1)＝－13＋1＋m＝1，∴m＝13.∴f(x)＝13x3－x＋13，∴当x＝1时，f(x)有极小值，f(1)＝13－1＋13＝－13，故选A.答案：A4．(2019·泸县期中)若x＝－1是函数f(x)＝(ax2－3)e－x的极值点，则f(x)的极大值为()A．6e－3B．－2e－3C．5e－3D．－2e－1解析：∵f(x)＝(ax2－3)e－x＝ax2－3ex，∴f′(x)＝2axex－ax2－3exex2＝2ax－ax2＋3ex，由题意得f′(－1)＝－2a－a＋3e－1＝0，∴a＝1，∴f(x)＝x2－3ex，∴f′(x)＝2x－x2＋3ex＝－x2－2x－3ex＝－x－3x＋1ex，由f′(x)0得－1x3，由f′(x)0得x－1或x3，∴当x＝3时，f(x)有极大值，f(3)＝6e3＝6e－3，故选A.答案：A5．(2019·临川一中月考)已知f(x)＝x3＋ax2＋bx在x＝－23与x＝1时都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(x)在区间(－c，c2)(c0)上不单调，求c的取值范围．解：(1)∵在x＝－23与x＝1时都取得极值，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f′－23＝0，f′1＝0，即43－43a＋b＝0，3＋2a＋b＝0，∴a＝－12，b＝－2.(2)∵x＝－23与x＝1是f(x)的极值点，又f(x)在区间(－c，c2)上不单调，∴两个极值点至少有一个在区间(－