2019-2020学年高中数学 第3讲 圆锥曲线性质的探讨讲末复习与小结课件 新人教A版选修4-1

讲末复习与小结一、知识结构(一)圆周角定理1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．2．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．二、要点提示(二)圆内接四边形1．圆内接四边形的性质定理1：圆的内接四边形的对角互补．2．圆内接四边形的性质定理2：圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角．3．圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(三)圆的切线1．定义：直线与圆只有一个公共点．2．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．4．弦切角定理：弦切角等于同弧所对的圆周角．(四)与圆有关的比例线段1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等．3．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这一点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．4．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【解题探究】要求∠AOB，就需求∠ACB，可通过解三角形求得．三、题型探究【例1】如图所示，点A，B，C是圆O上的点，AB＝2，BC＝6，∠CAB＝120°，求∠AOB的大小．【规范解答】在△ABC中，由正弦定理，BCsin∠BAC＝ABsin∠BCA，∴6sin120°＝2sin∠BCA，解得sin∠BCA＝22.∵∠BAC是钝角，∴∠BCA为锐角．∴∠BCA＝45°.∴∠BOA＝90°.与解三角形知识结合起来解决与圆有关的问题，是一种重要题型，也是培养灵活解决数学问题的能力的一个重要方面．【解题探究】要求圆半径，需作出半径OA，再结合切割线定理可求．【例2】如图所示，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA＝30°，PA＝23，PC＝1，求圆O的半径．【规范解答】设过切点A的直径为AE，AE与BC交于点D．∴AE⊥PA．由切割线定理，PA2＝PC·PB，即(23)2＝1·PB，∴PB＝12.在Rt△PAD中，∠DPA＝30°，AD＝PA·tan30°＝2，PD2＝PA2＋AD2＝16，∴PD＝4.∴CD＝PD－PC＝4－1＝3.∴DB＝PB－PD＝12－4＝8.由相交弦定理，CD·DB＝AD·DE，即3×8＝2×(2R－2)，∴R＝7.相交弦定理中直径的两段用半径表示为AD×(2R－AD)，是基本技能，要熟练掌握．【例3】如图所示，AB是⊙O的切线，AB＝AC，CD也是⊙O的切线，切点为D．ADE是⊙O的割线，连接EC交⊙O于G点，连接BD并延长交AC于Q点．求证：(1)DG∥AC；(2)C，E，B，Q四点共圆．【解题探究】要证线线平行，在平面几何中需证角相等，而要证角相等需证三角形相似，结合切割线定理，可用夹角相等，两夹边成比例推证．【规范解答】(1)∵AB是圆的切线，∴AB2＝AD·AE.∵AB＝AC，∴AC2＝AD·AE，即ACAE＝ADAC.∵∠CAD＝∠EAC，∴△ADC与△ACE两边对应成比例，夹角相等．∴△ADC∽△ACE.∴∠ACD＝∠AEC．∵CD也是⊙O的切线，∴∠CDG＝∠AEC．∴∠CDG＝∠ACD．∴AC∥DG.(2)∵AC∥DG，∴∠QCG＋∠DGC＝180°.又BDGE是圆内接四边形，∴∠DGC＝∠DBE.∴∠QCG＋∠DBE＝180°.∴C，E，B，Q四点共圆．切割线定理的本质是三角形相似，当AC由切线转到圆外时，并未改变这两个三角形的角边关系．四、素质训练1．如图所示，△ABC中，AB＝3，BC＝7，AC＝2，若O为△ABC的外接圆的圆心，则∠BOC的大小是()A．90°B．120°C．135°D．150°【答案】B【解析】在△ABC中，由余弦定理，cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝12，∴∠BAC＝60°.∴∠BOC＝2∠BAC＝120°.故选B．2．如图所示，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长是()A．3B．233C．23D．6【答案】B【解析】如图所示，连接OA，OE，AE.∵A，E是半圆周上的两个三等分点，∴∠AOB＝∠AOE＝60°.∴△AOE为等边三角形，AE＝OA＝2.∵AD⊥BC，∴OD＝12OA＝1，AD＝32OA＝3.又∵AB︵＝EC︵，∴∠EBC＝∠AEB．∴AE∥BC．∴Rt△BDF∽Rt△EAF.∴AFDF＝AEDB＝2.∴AFAD＝23，故AF＝233.故选B．3．(2015年武清区模拟)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD＝2，BC＝6，若以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，则DE等于()A．3B．23C．4D．8【答案】B【解析】连接OE，则OE⊥CD，又DC⊥BC，AD∥BC，所以OE∥AD∥BC．又O为AB的中点，所以OE是梯形ABCD的中位线，则OE＝12(BC＋AD)＝2＋62＝4，AB＝8.过D作DF∥AB交于BC于点F，则四边形ABFD是平行四边形，BF＝AD＝2，CF＝BC－BF＝6－2＝4，DF＝AB＝8，所以CD＝DF2－CF2＝82－42＝43，DE＝23.故选B．4．如图所示，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝1，则△ABC的面积为()A．32B．12C．34D．32【答案】C【解析】∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝60°.∴△ABC是正三角形．∴△ABC的面积S＝34.故选C．5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径作半圆交AB于D，过D作半圆的切线交AC于E，若AD＝2，DB＝4，则DE＝________.【答案】3【解析】∵BC为直径，AC⊥BC，∴AC是圆的切线．由切割线定理，AC2＝AD·AB＝2×(2＋4)＝12，∴AC＝23.∵ED，EC都是切线，∴EC＝ED．如图所示，连接CD，∴△ACD是直角三角形．∴∠ECD＝∠EDC．∵∠ACD＋∠A＝90°＝∠CDE＋∠ADE，∴∠A＝∠ADE.∴AE＝ED．∴ED＝12AC＝3.6．如图所示，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．【答案】8π【解析】∵∠AOB是圆心角，∠ACB是圆周角，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°.又AB＝4，∴OA＝22.∴圆的面积＝π·OA2＝8π.7．(2015年重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________.【答案】2【解析】由切割线定理可得PA2＝PC·PD，即36＝3×(3＋3ED)，解得ED＝3.由相交弦定理可得AE·BE＝CE·ED，即9BE＝6×3，解得BE＝2.8．如图所示，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝27，AB＝BC＝3，则BD的长为________，AC的长为________．【答案】4372【解析】∵CD是圆O的切线，由切割线定理，CD2＝DB·DA，即(27)2＝DB·(DB＋3)，∴DB＝4.在△DBC中，由余弦定理，cos∠BDC＝BD2＋CD2－BC22BD·DC＝35167.在△ADC中，由余弦定理，AC2＝AD2＋CD2－2AD·DCcos∠BDC＝634，∴AC＝372.9．(2015年新课标Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，求证：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．【解析】(1)连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△ABC中，由已知可得DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB，又∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠DEC＋∠OEB＝90°.∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2，由射影定理可得AE2＝CE·BE，∴x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0，解得x＝3.∴∠ACB＝60°.