2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质课件 新人教

第二章圆锥曲线与方程2．3抛物线2．3.2抛物线的简单几何性质梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．2．会用抛物线的简单性质解决与抛物线相关的问题．‖知识梳理‖抛物线的几何性质类型y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图象焦点_______________________________________准线_______________________________________范围________________________________________________性质对称轴________________x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0x轴y轴Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2顶点__________离心率e＝1性质开口方向向右向左向上向下O(0,0)解剖难点探究提高重点难点突破1．抛物线的“五个一”抛物线只位于半个坐标平面，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线．与椭圆、双曲线的性质比较差别较大，它独有“五个一”：一个顶点、一个焦点、一条准线、一条对称轴、一个离心率e＝1.2．直线与抛物线的位置关系设直线l：y＝kx＋m，抛物线方程为y2＝2px(p0)，将直线方程代入抛物线方程，并整理得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a＝0时，直线与抛物线有一个公共点，此时直线平行抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此，直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)当a≠0时，若Δ0，则直线与抛物线相交，有两个公共点；若Δ＝0，则直线与抛物线相切，有一个公共点；若Δ0，直线与抛物线相离，无公共点．3．抛物线中的弦长问题设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上任意两点，且直线AB的斜率为k，则弦长|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x2x2]＝1＋1k2[y1＋y22－4y1y2].(1)若弦AB过抛物线的焦点时，则AB又叫做抛物线的焦点弦，除可用上述弦长公式外，还可以用|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p.(2)若弦AB过抛物线的焦点且垂直于对称轴，此时弦AB叫做抛物线的通径，通径长为2p，是焦点弦中最短的．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一抛物线中焦点弦问题过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝2512，|AF||BF|，则|AF|＝________.【思路探索】设出直线方程和A，B两点的坐标，联立直线方程和抛物线方程，消去y得一元二次方程，利用弦长公式及韦达定理求出A的横坐标即可．【解析】依题意知直线AB的斜率存在，又焦点F12，0，故可设直线AB的方程为y＝kx－12(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)．由y＝kx－12，y2＝2x，得k2x2－(k2＋2)x＋14k2＝0，①则x1＋x2＝k2＋2k2，x1x2＝14.由|AB|＝x1＋x2＋1＝k2＋2k2＋1＝2512，得k2＝24，代入①，得12x2－13x＋3＝0.解得x1＝13，x2＝34.∵|AF||BF|，∴|AF|＝x1＋12＝56.【答案】56[名师点拨]设抛物线方程y2＝2px(p0)上任意一点A(x1，y1)，焦点Fp2，0，则|AF1|＝x1＋p2，这就是焦半径公式．若直线AF交抛物线另一点B(x2，y2)．由焦半径公式得|AB|＝x1＋x2＋p.(2019·南海中学月考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(2,22)的直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|MF|＝()A．1∶2B．1∶3C．1∶2D．1∶3解析：抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，∴直线l的方程为y＝22(x－1)，由y＝22x－1，y2＝4x，得2x2－5x＋2＝0，解得xM＝2，xN＝12，∴|NF|∶|MF|＝12＋12＋1＝12，故选A.答案：A题型二直线与抛物线的位置关系若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个公共点，求实数a的取值集合．【思路探索】将直线方程与曲线方程联立消去y，得关于x的方程，讨论求解．【解】∵直线l与曲线C恰好有一个公共点，∴方程组y＝a＋1x－1，y2＝ax有唯一一组解．由方程组消去y，得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0.①①当a＋1＝0，即a＝－1时，由方程①，得x＝－1，这时，方程组有唯一解x＝－1，y＝－1.②当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝0，解得a＝0或a＝－45.当a＝0时，方程组有唯一解x＝1，y＝0.当a＝－45时，方程组有唯一解x＝－5，y＝－2.综上，实数a的取值集合是－1，－45，0.[名师点拨]当直线与抛物线有一个公共点时，有两种情形：一是直线与抛物线的对称轴重合或平行；二是直线与抛物线相切.已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，过点At，t－12与抛物线C恰有一个交点的直线至多有2条，则直线AF被抛物线C所截得的弦长为________．解析：若过点At，t－12与抛物线C恰有一个交点的直线至多有2条，∴A点在抛物线上或在抛物线的内部，∴t2≤8×t－12，∴t2－4t＋4≤0，∴(t－2)2≤0，∴t＝2，∴A2，12，F(0,2)，∴AF的直线方程为y＝－34x＋2.由y＝－34x＋2，x2＝8y，得x2＋6x－16＝0.∴x1＝－8，y1＝8或x2＝2，y2＝12.∴所求弦长为y1＋y2＋4＝8＋12＋4＝252.答案：252题型三抛物线中的最值问题已知抛物线y2＝2x.(1)设点A的坐标为23，0，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．【思路探索】(1)设P(x，y)，利用两点间距离公式把|PA|2转化为x的二次函数求解．(2)解法一：利用点到直线的距离公式求解；解法二：可求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线，则两平行线间的距离即为所求．【解】(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝x－232＋y2＝x－232＋2x＝x＋132＋13.∵x≥0，且在区间[0，＋∞)上函数单调递增，∴当x＝0时，|PA|有最小值23，此时距点A最近的点的坐标为(0,0)．则P到直线x－y＋3＝0的距离为d＝|x0－y0＋3|2＝y202－y0＋32＝|y0－12＋5|22≥522＝524，当且仅当y0＝1时，等号成立．∴点P的坐标为12，1，此时距离的最小值为524.解法二：设与直线x－y＋3＝0平行的抛物线的切线为x－y＋t＝0(t≠3)，与y2＝2x联立，消去x得，y2－2y＋2t＝0.由Δ＝0，得t＝12，此时y＝1，x＝12.∴点P坐标为12，1.两平行线间的距离就是点P到直线的最小距离，即d＝3－122＝524.[名师点拨]与抛物线上的点有关的最值问题，常用数形结合思想求解．(1)可用抛物线的定义，把代数问题转化为几何问题求解；(2)可把几何问题转化为二次函数(代数问题)求解，但要注意抛物线上点的坐标的范围.(2019·安阳模拟)已知抛物线C1：y＝ax2(a0)的焦点F也是椭圆C2：y24＋x2b2＝1(b0)的一个焦点，点M，P32，1分别为曲线C1，C2上的点，则|MP|＋|MF|的最小值为________．解析：将P32，1代入C2，得14＋94b2＝1，∴b2＝3，∴c＝4－3＝1，∴F(0,1)，∴抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－1，设点M在抛物线准线上的射影为D，如图所示．∴|MF|＝|MD|，则|MF|＋|MP|＝|MP|＋|MD|≥|PD|＝1－(－1)＝2，即当M，P，D共线时，|MP|＋|MF|的值最小，最小值为2.答案：2即学即练稳操胜券课堂基础达标1．若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝42，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A．1B．2C．3D．5解析：由题可设，点A的纵坐标为22，代入y2＝4x，得x＝84＝2，从而直线AB的方程为x＝2.∵抛物线的焦点为(1,0)，∴抛物线的焦点到直线AB的距离为1，故选A.答案：A2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无数多条D．不存在解析：由y2＝4x知，|AB|＝5＋2＝7.而当AB⊥x轴时，|AB|有最小值为4，∴这样的直线有且仅有两条．故选B.答案：B3．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△PFM为等边三角形时，其面积为()A．43B．23C．4D．6解析：如图，∵△FPM为等边三角形，∴|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设Pm24，m，则M(－1，m)，∴|PM|＝m24＋1.又F(1,0)，|PM|＝|FM|，∴m24＋1＝1＋12＋m2，解得m2＝12.∴|PM|＝4，∴△PFM的面积为12×4×4×sin60°＝43.故选A.答案：A4．(2019·会泽一中月考)已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y2＝ax，y＝x，得x2－ax＝0，∴x1＋x2＝a.∵P(2,2)为AB的中点，∴a＝4，∴抛物线C的方程为y2＝4x.答案：y2＝4x5．(2019·杭州期末)已知抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为F，直线l：y＝kx＋2交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)若p＝4，且|AB|＝16，求直线l的方程；(2)若k＝2，且QA⊥QB，求抛物线C的方程．解：(1)当p＝4时，抛物线C：x2＝8y，由x2＝8y，y＝kx＋2，得x2－8kx－16＝0，所以x1x2＝16，x1＋x2＝8k，故|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2×64k2＋64＝8(1＋k2)＝16，解得k＝±1，故直线l的方程为x－y＋2＝0或x＋y－2＝0.(2)当k＝2时，有直线l：y＝2x＋2，由x2＝2py，y＝2x＋2，得x2－4px－4p＝0，x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p，设Ax1，x212p，Bx2，x222p，从而P2p，x21＋x224p，故Q(2p,2p)．所以QA→＝x1－2p，x212p－2p，QB→＝x2－2p，x222p－2p，因为QA⊥QB，所以QA→·QB→＝0，所以(x1－2p)(x2－2p)＋x212p－2px222p－2p＝0，整理得3x1x2－2p(x1＋x2)＋8p2＋x21x224p2－(x1＋x2)2＝0，从而4p2＋3p－1＝0，解得p＝－1(舍)或p＝14.所以抛物线的方程为x2＝12y.