2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2-2-3 反证法课件 新人教A版选修1-2

02推理与证明§2.2直接证明与间接证明第三课时反证法目标导向1．知识与技能了解反证法及其思考过程、特点．2．过程与方法数学证明中，有时遇到一些命题不易直接证明，往往考虑反证法．反证法就是依据“排中律”与“矛盾律”，通过证明结论反面不能成立，从而肯定原结论成立，其推理过程属于演绎推理，这种方法在中学数学，以至在高等数学中都是常用的方法之一．在教学中要讲清以下几点：(1)要通过具体实例引导学生理解反证法的推理过程；(2)反证法的证明步骤；(3)反证法按照其否定情形的多寡分为归谬法和穷举法两种；(4)反证法导出矛盾主要指哪些情况．3．情感、态度与价值观(1)培养学生反向思维能力．(2)培养辩证唯物主义思想．知识导学知识点1反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立．这样的证明方法叫做反证法．知识点2反证法的逻辑根据用反证法证明命题“若p则q”，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下．肯定条件p，否定结论q――→推理导致逻辑矛盾――→矛盾律“若p则┐q”为假――→排中律“若p则q”为真重点导析重点(1)间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反命题为假，或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法．(2)反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾．具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，即从原命题的反命题入手，由p与┐q合乎逻辑地推出一个矛盾结果；根据矛盾律，两个互相矛盾的判断不能同真，必有一假，断定反命题为假；从而根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假，必有一真．由此肯定命题“若p则q”为真．思维导悟导悟1反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上．运用演绎推理．导出矛盾，从而肯定结论的真实性．【例1】证明质数有无限多个．【证明】假定质数只有有限多个．设全体质数为p1，p2，…，pn，令p＝p1p2…pn＋1.显然，p不含因数p1，p2，…，pn.p要么是质数，要么含有除p1，p2，…，pn之外的质因数．这表明，除质数p1，p2，…，pn之外，还有质数，因此，假设质数只有有限多个不成立．于是，质数有无限多个．导悟2反证法的证明过程中需要导出矛盾．【例2】已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.【证明】假设p＋q2，那么p2－q，∴p3(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.将p3＋q3＝2，代入得6q2－12q＋60，即6(q－1)20.由此得出矛盾．∴p＋q≤2.方法导拨导拨1在应用反证法时正确写出结论的否定形式是很重要的．【例1】设a0，b0，且a＋b＝1a＋1b.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．【证明】证明：由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a0，b0得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.当且仅当a＝b＝1时等号成立．(2)设a2＋a2与b2＋b2可同时成立，则由a2＋a2及a0可得0a1，同理0b1，从而ab1这与ab＝1相矛盾，故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．导拨2当一个命题的否定情形不只一种时，需一一驳倒，才能推出命题结论的正确．【例2】若两平行直线a、b之一与平面M相交，则另一条也与平面M相交．【分析】直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法．【证明】不妨设直线a与平面M相交，b与a平行，求证b亦与平面M相交．设b不与平面M相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面M内．由a∥b，则a∥平面M，与题设矛盾．(2)b∥平面M.则平面M内有直线b′，使b∥b′，又a∥b，故a∥b′.∴a∥平面M，这也与题设矛盾．综上所述，b与平面M只能相交．