2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.5 平面向量应用举例课件 新人教A版必修4

2．5平面向量应用举例第二章平面向量课前自主预习1.向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由表示出来．(2)用向量解决平面几何问题的“三部曲”①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．□1向量的线性运算及数量积□2几何问题转化为向量问题2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有等．(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的中．(3)动量mv是向量的运算．(4)功是的数量积．□3力、速度、位移□4合成和分解□5数乘□6力F与位移s1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若△ABC是直角三角形，则有AB→·BC→＝0.()(2)若AB→∥CD→，则直线AB与CD平行．()(3)向量AB→，CD→的夹角就是直线AB，CD的夹角．()×××2．做一做(1)若向量OF1→＝(2,2)，OF2→＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为()A．(0,5)B．(4，－1)C．22D．5解析F1＋F2＝(0,5)，|F1＋F2|＝5.(2)在四边形ABCD中，AB→·BC→＝0，BC→＝AD→，则四边形ABCD是()A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形解析∵BC→＝AD→，∴四边形ABCD为平行四边形，又AB→·BC→＝0，∴AB⊥BC，∴四边形ABCD为矩形．(3)(教材改编P113习题2.5A组T4)已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)和合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为________．(－5,1)解析由F1＋F2＋F3＝0，得F3＝0－F1－F2＝0－(3，4)－(2，－5)＝(－5,1)．课堂互动探究探究1向量在平面几何中的应用例1(1)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝12AB，求证：AC⊥BC；(2)已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.①若D为斜边AB的中点，求证：CD＝12AB；②若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．解(1)证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝12AB，故可设AD→＝e1，DC→＝e2，|e1|＝|e2|，则AB→＝2e2.∴AC→＝AD→＋DC→＝e1＋e2，BC→＝AC→－AB→＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.而AC→·BC→＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e21－e22＝|e1|2－|e2|2＝0，∴AC→⊥BC→，即AC⊥BC.证法二：如图，建立直角坐标系，设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴BC→＝(－1,1)，AC→＝(1,1)．∴BC→·AC→＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.∴AC⊥BC.(2)①证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．∵D为AB的中点，∴Dn2，m2.∴|CD→|＝12n2＋m2，|AB→|＝m2＋n2，∴|CD→|＝12|AB→|，即CD＝12AB.②∵E为CD的中点，∴En4，m4，设F(x,0)，则AE→＝n4，－34m，AF→＝(x，－m)．∵A，E，F三点共线，∴AF→＝λAE→，即(x，－m)＝λn4，－34m.则x＝n4λ，－m＝－34mλ，故λ＝43，x＝n3，∴Fn3，0∴|AF→|＝13n2＋9m2，即AF＝13n2＋9m2.拓展提升用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．【跟踪训练1】(1)已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝14AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形；(2)如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．解(1)证明：设AD→＝a，AB→＝b，则DE→＝AE→－AD→＝14AC→－a＝14(a＋b)－a＝14b－34a，FB→＝AB→－AF→＝b－34AC→＝14b－34a，所以DE→＝FB→，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．(2)设AD→＝a，AB→＝b，则BD→＝a－b，AC→＝a＋b，而|BD→|＝|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝1＋4－2a·b＝5－2a·b＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝12.又|AC→|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|AC→|＝6，即AC＝6.探究2向量在解析几何中的应用例2已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA→＝2AN→，求点N的轨迹方程．解设M(x0，y0)，N(x，y)．由MA→＝2AN→，得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，所以1－x0＝2x－1，1－y0＝2y－1，即x0＝3－2x，y0＝3－2y.因为点M(x0，y0)在圆C上，所以(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4.所以x2＋y2＝1.所以所求点N的轨迹方程是x2＋y2＝1.拓展提升向量法解决解析几何问题的关键点及常用知识(1)向量法在解析几何中的应用，正确写出点的坐标，并由已知条件转化为向量坐标是解题的关键．(2)要掌握向量的常用知识：①共线，②垂直，③模，④夹角，⑤向量相等则对应坐标相等．(3)有时需要建立平面直角坐标系．【跟踪训练2】已知定点A(－1,0)和B(1,0)，P是圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上的一动点，求|PA→|2＋|PB→|2的最大值和最小值．解设圆的圆心为C，由已知可得OA→＝(－1,0)，OB→＝(1,0)，所以OA→＋OB→＝0，OA→·OB→＝－1.又PA→＋PB→＝2PO→，所以|PA→|2＋|PB→|2＝(PA→＋PB→)2－2PA→·PB→＝(2PO→)2－2(OA→－OP→)·(OB→－OP→)＝4|PO→|2－2OA→·OB→－2|OP→|2＋2OP→·(OA→＋OB→)＝2|OP→|2＋2.又因为OC→＝(3,4)，点P在圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上，所以|OC→|＝5，|CP→|＝2，且|OP→|＝|OC→＋CP→|.所以|OC→|－|CP→|≤|OP→|＝|OC→＋CP→|≤|OC→|＋|CP→|，即3≤|OP→|≤7.故20≤|PA→|2＋|PB→|2＝2|OP→|2＋2≤100.所以|PA→|2＋|PB→|2的最大值为100，最小值为20.探究3向量在物理中的应用例3(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？(2)已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．解(1)如图，设AB→表示水流的速度，AD→表示渡船的速度，AC→表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB→＋AD→＝AC→，所以四边形ABCD为平行四边形．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|DC→|＝|AB→|＝12.5，|AD→|＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.(2)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.∵AB→＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．∴W1＝F1·AB→＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，W2＝F2·AB→＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．[条件探究]本例(2)条件变为：两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求：F1，F2分别对该质点做的功．解AB→＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，F1＝(1,1)，F2＝(4，－5)，所以WF1＝F1·AB→＝－13－15＝－28，WF2＝F2·AB→＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23.拓展提升向量解决物理问题的步骤【跟踪训练3】在风速为75(6－2)km/h的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．解设ω＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如图所示．设|AB→|＝|va|，|CB→|＝|ω|，|AC→|＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD＝45°.设|AB→|＝150，则|CB→|＝75(6－2)．∴|CD→|＝|BE→|＝|EA→|＝752，|DA→|＝756.从而|AC→|＝1502，∠CAD＝30°.∴|vb|＝1502，即没有风时飞机的航速为1502km/h，方向为北偏西60°.1.向量在几何中的应用(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”．2.向量在物理中的应用(1)向量与力向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的，用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．(2)向量与速度、加速度以及位移速度、加速度与位移的合成和分解，实质上是向量的加减法运算．(3)物理上力做的功实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的积，其实质是向量的数量积.课堂达标自测1．已知|a|＝23，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()A．10B．10C．2D．22解析以向量a，b为邻边的平行四边形的对角线为a＋b与a－b.|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋2×23×2×32＋4＝28＝27，|a－b|＝a－b2＝a2－2a·b＋b2＝12－2×23×2×32＋4＝2.2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为()A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形解析由题意得AB→＝(3,3)，DC→＝(2,2)，∴AB→∥DC→，|AB→|≠|DC→|.故选A.3．平面上有三个点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)(x≠0)，若AB→⊥BC→，则满足条件的x，y的关系式是____________．y2＝8x(x≠0)解析∵AB→＝2，y2－y＝2，－y2，BC→＝x，y－y2＝x，y2，∴AB→·BC→＝2x－y24＝0，∴y2＝8x(x≠0)．4．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为_