2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.2 直线的方程

第二课时直线的两点式方程预习课本P83～84，思考并完成以下问题1．如何由直线上的两点确定直线的方程？2．直线的两点式方程的适用范围是什么？直线的截距式方程与两点式方程的关系是什么？[新知初探]直线的两点式方程和截距式方程两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2在x轴上截距a，在y轴上截距b图形方程适用范围不表示坐标轴的直线不表示坐标轴的直线及过的直线垂直于垂直于原点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1[点晴]两点式方程与截距式方程的注意点(1)对于直线方程的两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，两点的坐标哪一个为(x1，y1)，哪一个为(x2，y2)，并不影响最终的结果，但需强调的是方程两边分式的分子、分母四个减式的减数为同一点的横纵坐标．(2)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两点分别是与两坐标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线方程的形式为xa＋yb＝1(ab≠0)，即为截距式．用截距式可以很方便地画出直线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意直线的方程都可以化成截距式方程．()(2)与坐标轴围成的面积等与2的等腰三角形的直线有两条，其方程为y＝±x＋2.()(3)方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示经过不同的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的所有直线．()××√2．若一条直线与坐标轴围成等腰直角三角形，则直线在两个坐标轴上的截距_________．答案：绝对值相等3.过点(2,4)可作在x轴，y轴上的截距相等的直线共_______条．答案：24．若直线l的横截距与纵截距都是负数，则直线l不过第________象限．答案：一利用两点式求直线方程[典例]已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．[解]∵A(2，－1)，B(2,2)，A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得AC的方程为y－1－1－1＝x－42－4，即x－y－3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为y－21－2＝x－24－2，即x＋2y－6＝0.∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．用两点式求方程需要注意两点式的结构形式，即不能将字母或数字的顺序错位．[活学活用]已知△ABC的三个顶点为A(1,1)，B(5,1)，C(23－1，7－23)．(1)求△ABC三边所在直线的方程；(2)求△ABC内角A，B的大小．解：(1)直线AB过点A(1,1)，B(5,1)，由于A，B的纵坐标相等，所以直线AB的方程为y＝1.直线AC过点A(1,1)，C(23－1,7－23)，由两点式方程可得y－16－23＝x－123－2，整理得3x－y＋1－3＝0，这就是直线AC的方程．直线BC过点B(5,1)，C(23－1,7－23)，由两点式方程可得y－16－23＝x－523－6，整理得x＋y－6＝0，这就是直线BC的方程．(2)因为kAC＝3，所以直线AC的倾斜角α＝60°.又AB平行于x轴，所以∠A＝60°.因为kBC＝－1，所以直线BC的倾斜角β＝135°.又AB平行于x轴，所以∠B＝45°.利用截距式求直线方程[典例]求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．[解]设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b.①当a≠0，b≠0时，设l的方程为xa＋yb＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a＋－3b＝1，若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.综上所述，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.(1)使用截距式方程，一定要注意截距非零．(2)当题设条件出现横、纵截距相等、互为相反数、倍数关系时，注意分类讨论：主要有两大类，①a≠0，b≠0；②a＝b＝0(即直线过原点)，避免出现忽视“截距均为0”的情形．[活学活用]求过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．解：(1)当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝25x，即2x－5y＝0；(2)当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为xa＋y－a＝1，即x－y＝a.又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，a＝3，∴l的方程为x－y－3＝0.综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.直线方程的简单应用[典例]直线l过点P(1,3)，且与x，y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，求线l的方程．[解][法一截距式]由题意，设直线l的方程为xa＋yb＝1，所以1a＋3b＝1，12ab＝6，a＞0，b＞0，解得a＝2，b＝6，∴直线l的方程为x2＋y6＝1，即3x＋y－6＝0.[法二点斜式]由题意，设直线l的点斜式方程为y－3＝k(x－1)．因为直线l与x，y轴正半轴所围成的三角形，所以k0，令x＝0，则y＝3－k，令y＝0，则x＝1－3k，所以△ABC的面积S＝12(3－k)1－3k＝6，解得k＝－3，直线l的方程为y－3＝－3(x－1)，即3x＋y－6＝0.研究直线与坐标轴围成的三角形的面积问题，可以选择截距式方程，也可以选择点斜式方程，但是需要注意直线的斜率和相应截距的正负．[活学活用]求经过点P(1,3)且与x，y轴正半轴所围成的三角形的面积最小时直线l的方程．解：法一：设直线l的方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，由题意知1a＋3b＝1，所以a＝bb－3，由a0，b0，得b3，S＝12ab＝b22b－3＝12b－3＋6＋9b－3，设t＝b－3，则t0,而函数S＝12t＋6＋9t在(0,3]上为减函数，在[3，＋∞)为增函数，所以t＝3，即a＝2，b＝6时，Smin＝6.此时直线l的方程x2＋y6＝1，即3x＋y－6＝0.法二：由题意设直线l的点斜式方程为y－3＝k(x－1)，因为直线l与x，y轴正半轴所围成的三角形，所以k0，令x＝0则y＝3－k，令y＝0，则x＝1－3k，所以△ABC的面积S＝12(3－k)1－3k＝126＋－k＋9－k＝1212＋－k－3－k2≥6，当且仅当－k－3－k＝0，即k＝－3取等号，此时直线l的方程为y－3＝－3(x－1)，即3x＋y－6＝0.