2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 2-2-3-1 直线与圆的位置关系课件 北师大

解析几何初步第二章§2圆与圆的方程2.3直线与圆、圆与圆的位置关系一直线与圆的位置关系课前自主预习直线与圆的位置关系及判断判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．()(2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．()(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．()[答案](1)×(2)√(3)√课堂互动探究题型一直线与圆的位置关系的判定【典例1】已知圆C：x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k为何值时，直线与圆(1)相交；(2)相切；(3)相离.[解]解法一(代数法)：联立y＝kx－3k，x2＋y2＝1，消去y,整理得(k2＋1)x2－6k2x＋9k2－1＝0.Δ＝(－6k2)2－4(k2＋1)(9k2－1)＝－32k2＋4＝4(1－8k2).(1)当直线与圆相交时，Δ0，即－24k24.(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，即k＝±24.(3)当直线和圆相离时，Δ0,即k－24或k24.解法二(几何法)：圆心(0,0)到直线y＝kx－3k的距离d＝|0－0－3k|k2＋1＝3|k|k2＋1.由条件知，圆的半径为r＝1.(1)当直线与圆相交时，dr,即3|k|k2＋11，得－24k24.(2)当直线与圆相切时，d＝r,即3|k|k2＋1＝1，得k＝±24.(3)当直线与圆相离时，dr,即3|k|k2＋11，得k－24或k24.直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[针对训练1](1)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相交B．相离C．相交或相切D．相切(2)过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．[解析](1)由直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0),而(－1,0)恰在圆x2＋y2＝1上，故直线与圆至少有一个公共点，故选C.(2)当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2＋y2＝1没有公共点，故可设直线y＋1＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－1＝0，圆心到直线的距离|3k－1|k2＋1≤1，解得0≤k≤3，即0≤tanα≤3，即0≤α≤π3.[答案](1)C(2)0，π3题型二圆的切线问题【典例2】过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．[思路导引]设直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率，注意斜率不存在的情况．[解]因为(4－3)2＋(－3－1)2＝171，所以点A在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．即kx－y－3－4k＝0，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以|3k－1－3－4k|k2＋1＝1，即|k＋4|＝k2＋1，所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得k＝－158.所以切线方程为y＋3＝－158(x－4)，即15x＋8y－36＝0.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.(1)过一点P(x0，y0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y－y0＝k(x－x0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程．(2)一般地圆的切线问题，若已知切点则用k1·k2＝－1(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用d＝r(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式．[针对训练2]求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．[解]由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.∴|－k－7|k2＋1＝5.解得k＝43或k＝－34.∴所求切线方程为y＋7＝43(x－1)或y＋7＝－34(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.题型三弦长问题【典例3】(1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．(2)如果一条直线经过点M－3，－32且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．[解析](1)由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝|－1|2＝22，则有|AB|＝2r2－d2＝28－12＝30.(2)圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，所以弦心距d＝r2－l22＝52－42＝3.因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．设直线y＋32＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋3k－32＝0的距离等于3，于是3k－32k2＋1＝3，解得k＝－34.故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.[答案](1)30(2)x＝－3和3x＋4y＋15＝0求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|x1－x22＋y1－y22求解．(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有|AB|22＋d2＝r2，即|AB|＝2r2－d2.通常采用几何法较为简便．[针对训练3]已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8.(1)证明：直线l与圆相交；(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长．[解](1)证明：∵l：kx－y＋k＋2＝0，直线l可化为y－2＝k(x＋1)，∴直线l经过定点(－1,2)，∵(－1)2＋228，∴(－1,2)在圆C内，∴直线l与圆相交．(2)由(1)知，直线l过定点P(－1,2)，又圆C：x2＋y2＝8的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短．∵kOP＝－2，∴kl＝12，∴直线l：y－2＝12(x＋1)，即x－2y＋5＝0.圆心到直线l的距离d＝|5|12＋22＝5，设直线l与圆交于A，B两点，|AB|＝2r2－d2＝28－5＝23.∴直线l的方程为x－2y＋5＝0，弦长为23.