2019-2020学年高中数学 第2章 解三角形 2.3 解三角形的实际应用举例课件 北师大版必修5

第1页§3解三角形的实际应用举例第2页要点1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角如图．第3页要点2方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α如图．方位角的其他表示——方向角：第4页(1)正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上．依此类推正北方向、正东方向和正西方向．第5页(2)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线．依此类推东北方向、西南方向、西北方向．第6页1．测量高度时常见的三种数学模型及其特征．答：(1)有以下三种数学模型.底部可到达底部不可到达解直角三角形解直角三角形解一般三角形第7页(3)特征．①底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形．②底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进．③底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，此类问题中观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”．第8页2．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据()A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b第9页答：C由a，b，γ利用余弦定理可求出AB.第10页授人以渔第11页题型一测量两个不可到达的点之间的距离例12003年，伊拉克战争初期，美英联军为了准确分析战场形势，由分别位于科威特和沙特的两个相距为3a2的军事基地C和D，测得伊拉克两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求伊军这两支精锐部队的距离．第12页【思路分析】综合应用正弦定理、余弦定理．【解析】方法一：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝32a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理DBsin∠BCD＝CDsin∠DBC，得BD＝CD·sin∠BCDsin∠DBC＝32a·6＋2422＝3＋34a.第13页在△ADB中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝34a2＋(3＋34a)2－2×3＋34a×32a×32＝38a2.∴AB＝64a，∴伊军这两支精锐部队的距离为64a.第14页方法二：(同方法一)AD＝DC＝AC＝32a，在△BCD中∠DBC＝45°，∴BCsin30°＝CDsin45°，∴BC＝64a.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝34a2＋38a2－2×32a×64a×22＝38a2.∴AB＝64a，∴伊军这两支精锐部队的距离为64a.第15页【讲评】求距离问题一般要注意：(1)基线的选取要准确恰当(在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例中的CD)．(2)选定或创建的三角形要确定．(3)利用正弦定理还是余弦定理要确定．第16页探究1测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，然后把未知的另外边长转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题．测量长度、距离是解三角形应用题的一种基本题型，在解这类问题时，首先要分析题意，确定已知与所求，然后画好示意图，通过解三角形确定实际问题的解．第17页●思考题1为了开凿隧道，要测量隧道D，E间的距离，为此在山的一侧选取适当的点C(如右图)，测得CA＝482.8m，CB＝631.5m，∠ACB＝56°18′，又测得A，B两点到隧道的距离AD＝80.12m，BE＝40.24m(A，D，E，B在一直线上)，计算隧道的长(精确到0.1m)．第18页【解析】∵AB2＝AC2＋CB2－2AC·CBcosC＝482.82＋631.52－2×482.8×631.5×cos56°18′≈293503.90，∴AB≈541.76m.∴DE＝AB－AD－BE＝541.76－80.12－40.24＝421.4m.【讲评】由于DE＝AB－AD－BE，所以要求DE的长，只需求AB的长即可．第19页题型二测量高度例2为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为75.5°，前进38.5m后，到达B处测得塔尖的仰角为80.0°.试计算东方明珠塔的高度(精确到1m)．第20页【思路分析】如图所示，塔高为CD，只要能计算出BC或AC的长度，就可以计算出塔高，所以应在△ABC中，利用正弦定理求BC的长．第21页【解析】方法一：由于∠CAD＝75.5°，∠CBD＝80.0°，∴∠ACB＝4.5°.在△ABC中，由于ABsin∠ACB＝BCsinA，∴BC＝AB·sinAsin∠ACB＝38.5×sin75.5°sin4.5°.∴CD＝BC·sin80.0°＝38.5×sin75.5°sin4.5°·sin80.0°≈468(m)．答：东方明珠塔的高度为468m.第22页方法二：在△ACD中，CDtan75.5°＝AD，在△CBD中，CDtan80.0°＝BD，由AD－BD＝AB＝38.5，得CDtan75.5°－CDtan80.0°＝38.5，解得CD≈468(m)．答：东方明球塔的高度为468m.第23页探究2(1)本例是计算高度的问题，由于塔高CD难以直接求解，因此放在直角三角形BCD中求解，而BC长的求解利用正弦定理在△ABC中求解．也可利用38.5m这个已知量在两个直角三角形中分别表示出AD和BD.(2)在解斜三角形应用题中不要忽视解直角三角形的知识的应用(如解法二)．第24页●思考题2有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长________m．()A．5B．10C．102D．103第25页【解析】如右图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10m．在△BAB′中，由正弦定理，得BB′＝ABsin45°sin30°＝10×2212＝102.∴坡底要延伸102m时，斜坡的倾斜角将变为30°.【答案】C第26页题型三测量角度例3某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以103海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．第27页【解析】如图所示，设所需时间为t小时，则AB＝103t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12(舍去)．第28页舰艇需1小时靠近货船．此时AB＝103，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理，得BCsin∠CAB＝ABsin120°.所以sin∠CAB＝BCsin120°AB＝10×32103＝12.所以∠CAB＝30°.所以护航舰航行的方位角为75°.第29页探究3解题时应明确，方位角是相对每一点而言的，因此，从这个意义上来说，方位角是一个动态角，在理解题意时，应把方位角看活，本题从表面上似乎与三角形无关，但通过画出问题的示意图后，发现本题的实质就是解两个斜三角形，因此，在解任何数学问题时，应认真仔细地分析题意，揭示问题的本质，不应被问题的表面现象所迷惑．第30页●思考题3甲船在A处观察乙船在它的北偏东60°的B处，此时两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船以什么方式前进才能追赶上乙船？此时乙船行驶了多少海里？第31页【解析】如图所示，AC为甲船的航行路线，BC为乙船的航行路线，设甲船取北偏东θ的方向去追赶乙船，在C点处追上，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是3v，由于甲、乙两船到达C点的时间相等，都为t，则BC＝vt，AC＝3vt.∠ABC＝120°.第32页由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°，即3v2t2＝a2＋v2t2＋avt.所以2v2t2－avt－a2＝0.解得t1＝av，t2＝－a2v(舍去)．所以BC＝a，∠CAB＝30°，θ＝30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船，此时乙船已行驶a海里．第33页课后巩固第34页1．若P在Q的北偏东44°，则Q在P的()A．东偏北46°B．东偏北44°C．南偏西44°D．西偏南44°答案C第35页2．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里答案A第36页3.如图所示，A，B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，其中，点D是点C在水平面上的投影，则山高CD＝()A．4003mB．800(3＋1)mC．400(3＋1)mD．800(3＋1)m答案B第37页4.如图，在河的两岸有两点A，B，C与A在河岸的同侧，若∠BAC＝60°，∠ACB＝60°，AC＝50m，则AB＝________m.答案50第38页5．如图，A，B两点都在河的对岸，C，D在河的这一岸，若CD＝100m，∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，∠BDC＝30°，∠ACB＝75°，则AB＝________m.第39页答案1004－3解析在直角三角形ADC中，因为DC＝100，∠ACD＝45°，所以AD＝100.在△DCB中，DCsin∠DBC＝DBsin∠DCB，所以DB＝100×sin120°sin（180°－30°－120°）＝1003.在△ADB中，AB2＝AD2＋DB2－2AD·DBcos45°＝1002＋(1003)2－2×100×1003×22，∴AB＝1004－6.第40页6.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．第41页解析作DM∥AC交BE于N，交CF于M.由题中所给数据可得，DF＝MF2＋MD2＝302＋1702＝10298，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，第42页EF＝（BE－FC）2＋BC2＝902＋1202＝150.在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF22×DE×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.第43页