2019-2020学年高中数学 第2讲 讲明不等式的基本方法 第2课时 综合法课件 新人教A版选修4

第2课时综合法1．综合法：在不等式的证明中，从___________和____________及____________出发，通过正确的________，推导出所要证明的结论．2．综合法的实质是一种_____________________________的思考方法和证明方法．已知条件不等式的性质基本不等式逻辑推理由因导果(顺推证法或由因导果法)1．下列命题为假命题的是()A．∀a，b∈R，a2＋b2≥2abB．∃a，b∈R，a2＋b2＝2abC．∀x∈R，x2－2x＋1≥0D．∃x∈R，x2＋1＜0【答案】D2．如果a≠0，b≠0，那么下列各式恒成立的是()A．ba＋ab≥2B．|ab|≤|a＋b|2C．(a＋b)1a＋1b≥4D．a2＋b22≥a＋b22【答案】D【解析】∵a2＋b22－a＋b22＝2a2＋b2－a＋b24＝a－b24≥0，∴a2＋b22≥a＋b22.3．若实数a，b满足0＜a＜b，且a＋b＝1，则12，a2＋b2,2ab，a四个数中最大的一个是________________．【答案】a2＋b2【解析】取a＝13，b＝23，则a2＋b2＝59，2ab＝49，因为0＜a＜b，所以a2＋b2＞a2＋ab＝a(a＋b)＝a，a2＋b2＞2ab，a2＋b2＞a＋b22＝12.所以最大的是a2＋b2.4．已知a0，a0,c0且a＋b＋c＝1，求a＋1a＋b＋1b＋c＋1c的最小值．【解析】∵a0，a0,c0，∴1＝a＋b＋c≥33abc.∴3abc≤13.∴a＋1a＋b＋1b＋c＋1c＝1＋1a＋1b＋1c≥1＋331a·1b·1c≥1＋3×3＝10，当且仅当a＝b＝c＝13时，a＋1a＋b＋1b＋c＋1c的最小值为10.不等式两边都是和式【例1】已知a0，a0,c0且互不相等，求证：bca＋cab＋abc＞a＋b＋C．【解题探究】不等式中a，b，c为对称的且两边都是和式，所以从基本不等式入手，再根据不等式的可加性导出证明的结论．【解析】因为a0，a0,c0且互不相等，所以bca＋cab＞2bca·cab＝2C．同理cab＋abc＞2cab·abc＝2a，bca＋abc＞2bca·abc＝2b.三式相加得2bca＋cab＋abc＞2(a＋b＋c)，即bca＋cab＋abc＞a＋b＋C．所以bca＋cab＋abc＞a＋b＋C．两边都是项数相等的和式，通常是利用基本不等式，先证A1＞B1，A2＞B2，A3＞B3，然后相加得到A1＋A2＋A3＞B1＋B2＋B3，从而得到原不等式成立．如果两边是积的结构，往往先证A1＞B1＞0，A2＞B2＞0，A3＞B3＞0，从而A1·A2·A3＞B1·B2·B3，从而原不等式成立．1．(2016年晋中期中)设a，b，c∈R，证明：a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bC．【证明】方法一：因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，相加可得2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2ac＋2bc，所以a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc(当且仅当a＝b＝c取得等号)．方法二：由a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝12(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)＝12[(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2]≥0，则a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc(当且仅当a＝b＝c取得等号)．和式与积式的转化【例2】若x0，y0,z0且x＋y＋z＝1，求证：(1－x)(1－y)(1－z)≤827.【解题探究】要证不等式左边是积的结构，且条件是和x＋y＋z为定值1，所以可通过基本不等式将和转化为积．【解析】∵x＋y＋z＝1，∴(1－x)(1－y)(1－z)＝(y＋z)(z＋x)(x＋y)．又∵x0，y0,z0,∴(y＋z)(z＋x)(x＋y)≤y＋z＋z＋x＋x＋y33＝[2x＋y＋z]327＝827，当且仅当x＝y＝z＝13时取等号．故(1－x)(1－y)(1－z)≤827.本题的关键是将(1－x)(1－y)(1－z)化为(y＋z)(z＋x)(x＋y)，后利用基本不等式达到证明的目的．2．已知△ABC的三条边分别为a，b，c且满足s＝12(a＋b＋c)，s2＝2ab，求证：sa＜2.【证明】∵a，b，c是△ABC的三边，∴b＜a＋c，则2b＜a＋b＋C．又∵s＝12(a＋b＋c)，∴a＋b＋c＝2s，∴b＜s.由s2＝2ab可知b＝s22a＜s，∴s2a＜1，即sa＜2.和式与和式的转化【例3】设a0，b0，a＋b＝1.求证：(1)1a＋1b＋1ab≥8；(2)a＋1a2＋b＋1b2≥252.【解题探究】已知条件是和的结构且为定值，关键是利用基本不等式将目标转化为和，从而利用已知条件．【解析】(1)∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2ab.∴ab≤12.∴1ab≥4.∴1a＋1b＋1ab＝a＋bab＋1ab＝2ab≥8.∴1a＋1b＋1ab≥8，当且仅当a＝b＝12时取等号．(2)∵a＋b2≤a2＋b22，则a2＋b22≥a＋b22.∴a＋1a2＋b＋1b2≥2a＋1a＋b＋1b22＝2a＋b＋1ab22≥252，即a＋1a2＋b＋1b2≥252.把握已知条件和要证的不等式的结构特征，加强目标意识，合理使用基本不等式达到证明的目的．3．若a＞0，b＞0且a＋b＝1，求证：a＋12＋b＋12≤2.【证明】∵a＞0，b＞0且a＋b＝1，∴a＋b≥2ab，即ab≤14，当且仅当a＝b＝12时等号成立．又a＋12＋b＋122＝a＋b＋1＋2a＋12·b＋12＝2＋2ab＋12a＋b＋14≤4.∴a＋12＋b＋12≤2.1．用综合法证明A＞B的逻辑关系是：A＞B1＞B2＞…＞Bn＞B.2．运用不等式的性质和定理或已证明过的不等式时，要注意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误．3．常用的定理或结论有：(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)；(3)a3＋b3＋c3≥3abc(a，b，c∈R)；(4)a＋b＋c3≥3abc(a＞0，b＞0,c0,c∈R＋)．