2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.3 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象（第

第1章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质学习目标核心素养(教师独具)1.能由三角函数的图象求出解析式．(重点、易错点)2.掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质．(重点)通过学习本节内容提升学生的直观想象和数学运算的核心素养.自主预习探新知y＝Asin(ωx＋φ)的性质函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质如下：定义域R值域[－A，A]周期性T＝______2πω奇偶性φ＝时是奇函数；φ＝时是偶函数；当φ≠kπ2(k∈Z)时是函数单调性单调增区间可由得到，单调减区间可由得到kπ，k∈Zπ2＋kπ，k∈Z非奇非偶－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ，k∈Zπ2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ，k∈Z1．最大值为12，周期为π3，初相为π4的函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)解析式可以为________．y＝12sin6x＋π4[由题意可知A＝12，2πω＝π3，∴ω＝6，又φ＝π4，故其解析式可以为y＝12sin6x＋π4.]2．已知f(x)＝Asinωx＋π3(A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝π12时，取得最大值2；当x＝7π12时，取得最小值－2，则f(x)＝________.2sin2x＋π3[由题意可知，A＝2，又T2＝7π12－π12＝π2，∴T＝π，∴ω＝2ππ＝2，∴f(x)＝2sin2x＋π3.]合作探究提素养【例1】如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．思路点拨：观察图象可知A＝3，对于ω，φ可由一个周期内的图象确定．由图象求三角函数的解析式[解]法一：(逐一定参法)由图象知振幅A＝3，又T＝5π6－－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.由点－π6，0，得－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3，∴y＝3sin2x＋π3.法二：(待定系数法)由图象知A＝3，又图象过点π3，0和5π6，0，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有π3·ω＋φ＝π，5π6·ω＋φ＝2π，解得ω＝2，φ＝π3，∴y＝3sin2x＋π3.若设所求解析式为y＝Asinωx＋φ，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.1由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.2由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝2π|ω|，确定ω.3确定函数y＝Asinωx＋φ的初相φ的值的两种方法①代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω已知或代入图象与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点－φω，0作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”即图象上升时与x轴的交点为ωx＋φ＝0；“第二点”即图象的“峰点”为ωx＋φ＝π2；“第三点”即图象下降时与x轴的交点为ωx＋φ＝π；“第四点”即图象的“谷点”为ωx＋φ＝3π2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.③图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图象平移规律确定相关的参数.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)在一个周期内的函数图象，如图所示，求该函数的一个解析式．[解]法一：(最值点法)由图象知函数的最大值为3，最小值为－3，又A0，∴A＝3.由图象知T2＝5π6－π3＝π2，∴T＝π＝2πω，∴ω＝2.又12π3＋5π6＝7π12，∴图象上的最高点为7π12，3，∴3＝3sin2×7π12＋φ，即sin7π6＋φ＝1，则7π6＋φ＝π2＋2kπ，φ＝－2π3＋2kπ，可取φ＝－2π3，∴函数的一个解析式为y＝3sin2x－2π3.法二：(五点对接法)由图象知A＝3，又图象过点π3，0，5π6，0，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得π3·ω＋φ＝0，5π6·ω＋φ＝π，解得ω＝2，φ＝－2π3.∴函数的一个解析式为y＝3sin2x－2π3.法三：(图象变换法)由图可知A＝3，T2＝5π6－π3＝π2，∴T＝π＝2πω，∴ω＝2.∴该函数的图象可由y＝3sin2x的图象向右平移π3个单位长度得到，∴所求函数的一个解析式为y＝3sin2x－π3，即y＝3sin2x－2π3.[探究问题]1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与哪个量有关？当其取何值时为偶函数？当其取何值时为奇函数？提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与参数φ有关，当φ＝π2＋kπ，k∈Z时，其为偶函数，当φ＝kπ，k∈Z时，其为奇函数．y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的对称轴方程如何表示，对称中心呢？提示：由ωx＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，求对称轴方程，由ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求对称中心．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，相邻对称轴之间相差多少个周期？相邻零点呢？提示：均相差半个周期．【例2】已知函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图象过点Pπ12，0，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为π3，5.求函数解析式．思路点拨：由图象过Pπ12，0和离P最近的最高点π3，5可求A、ω，由π3，5是最高点及|φ|π2可求得φ的值．[解](1)∵图象最高点的坐标为π3，5，∴A＝5.∵T4＝π3－π12＝π4，∴T＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y＝5sin(2x＋φ)．代入点π3，5，得sin2π3＋φ＝1，∴2π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z.∴φ＝－π6＋2kπ，k∈Z，又∵|φ|π2，∴k＝0，则φ＝－π6，∴y＝5sin2x－π6.1．(变结论)本例条件不变，指出函数的单调增区间．[解]∵函数的单调增区间满足2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，∴2kπ－π3≤2x≤2kπ＋2π3(k∈Z)，∴kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)．∴函数的单调增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．2．(变结论)本例条件不变，求使y≤0的x的取值范围．[解]∵5sin2x－π6≤0，∴2kπ－π≤2x－π6≤2kπ(k∈Z)，∴kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)．故所求x的取值范围是kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．有关函数y＝Asinωx＋φ的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.提醒：熟知y＝Asinωx＋φ的图象和性质是解决y＝Asinωx＋φ类综合题的关键.教师独具1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T＝2πω，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的水平距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的水平距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一个零点－φω，0(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．当堂达标固双基1．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象()A．关于点π3，0对称B．关于直线x＝π4对称C．关于点π4，0对称D．关于直线x＝π3对称A[由T＝2πω＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin2x＋π3，则该函数图象关于点π3，0对称．]2．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)|φ|π2的图象的一部分，那么ω＝________，φ＝________.116π6[∵点0，12在函数图象上，∴sinφ＝12.又∵|φ|π2，∴φ＝π6，∴y＝sinωx＋π6.又∵点(π，0)在y＝sinωx＋π6上，且该点是“五点”中的第五个点，∴sinπω＋π6＝0，∴πω＋π6＝2π，∴ω＝116.]3．函数y＝sin2x＋π4的图象的一条对称轴方程是________．x＝π8(答案不唯一)[由2x＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π8(k∈Z)，令k＝0，得x＝π8.]4．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点38π，0，若φ∈－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．[解](1)由题意知A＝2，T＝4×38π－π8＝π，ω＝2πT＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)．又∵sinπ8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝2kπ＋π4，k∈Z，又∵φ∈－π2，π2，∴φ＝π4，∴y＝2sin2x＋π4.(2)列出x，y的对应值表：x－π8π838π58π78π2x＋π40π2π32π2πy020－20描点、连线，如图所示：