2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-6-1-2 平面与平面垂直的判定课件 北师

立体几何初步第一章§6垂直关系6．1垂直关系的判定二平面与平面垂直的判定课前自主预习1．二面角(1)定义：从一条直线出发的所组成的图形叫作二面角．叫作二面角的棱．这叫作二面角的面．以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角(如图①)．两个半平面这条直线两个半平面α－AB－β(2)以二面角的棱上一点为端点，在两个分别作于棱的两条，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，如图②中的∠AOB.平面角是直角的二面角叫作直二面角．任半平面内垂直射线2．平面与平面的垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(2)画法记作：.直二面角α⊥β(3)平面和平面垂直的判定定理判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角．()(2)异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补．()(3)二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角．()(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√课堂互动探究题型一二面角的概念及求法【典例1】四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A－PD－C平面角的度数；(2)求二面角B－PA－D平面角的度数；(3)求二面角B－PA－C平面角的度数．[思路导引]根据二面角的平面角的定义，先找出二面角的平面角，然后放在三角形中求角．[解](1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A－PD－C平面角的度数为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，∴二面角B－PA－D平面角的度数为90°.(3)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B－PA－C平面角的度数为45°.(1)求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．(2)求二面角的方法①(定义法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图(1)所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．②(垂线法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图(2)所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．③(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图(3)所示，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．[针对训练1]如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．[解]由已知PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.而PC平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.题型二面面垂直的判断【典例2】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB、BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.[思路导引](1)欲证直线DE∥平面A1C1F，只需证DE∥A1C1.(2)欲证平面B1DE⊥平面A1C1F，只需证B1D⊥平面A1C1F.[证明](1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，∴DE∥A1C1.∵DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，∴直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.∵A1C1平面A1B1C1，∴A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1.又∵B1D平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D.又B1D⊥A1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F.∵B1D平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.本题涉及线面垂直，面面垂直的性质和判定，其中证明B1D⊥平面A1C1F是关键．[针对训练2]如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝12AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.[证明]由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面BDC.题型三面面垂直、线面垂直与线线垂直的联系【典例3】已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：(1)MN∥平面PAD；(2)平面PMC⊥平面PDC.[思路导引](1)要证明MN∥平面PAD，只需在平面PAD找到一条MN的平行线．(2)要证明平面PMC⊥平面PDC，首先证明线面垂直．[证明](1)取PD的中点为Q，连接AQ、QN，∵PN＝NC，∴QN綊12DC.∵四边形ABCD为矩形，∴QN綊AM，∴MN∥AQ.又∵AQ平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAD＝90°，∴△PAD为等腰直角三角形．∵Q为PD中点，∴AQ⊥PD.∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AQ，∴AQ⊥平面PDC，由(1)MN∥AQ，∴MN⊥平面PDC，又∵MN平面PMC，∴平面PMC⊥平面PDC.掌握线线、线面、面面垂直的性质和判定是三种垂直相互转化的关键．由线面垂直可知线与面内任何一条直线都垂直；由线面垂直亦可得到面面垂直(面面垂直的判定)．因此说线面垂直是线线垂直和面面垂直的枢纽．[针对训练3]如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)求证：平面SCD⊥平面SCE.[证明](1)连接AC，AF，BF.∵SA⊥平面ABCD，∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线，∴AF＝12SC.又∵四边形ABCD是正方形，∴CB⊥AB.而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA，∴CB⊥平面SAB，∴CB⊥SB，∴BF为Rt△SBC斜边SC上的中线，∴BF＝12SC，∴AF＝BF，∴△AFB为等腰三角形．∵E为AB的中点，∴EF⊥AB.又CD∥AB，∴EF⊥CD.(2)由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE，∴SE＝EC，即△SEC是等腰三角形，∴EF⊥SC.又∵SC∩CD＝C，EF⊥CD，∴EF⊥平面SCD.又EF平面SCE，∴平面SCD⊥平面SCE.