2019-2020学年高中数学 第1章 集合与函数概念阶段复习课课件 新人教A版必修1

第一章集合与函数概念阶段复习课求函数的定义域【例1】(1)求函数y＝5－x＋x－1－1x2－9的定义域．(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．[解](1)解不等式组5－x≥0，x－1≥0，x2－9≠0，得x≤5，x≥1，x≠±3，故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为12(a－2x)，所以y＝x·12(a－2x)＝－x2＋12ax，定义域为x0x12a.1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．1.函数f(x)＝3x21－x＋(3x－1)0的定义域是()A.－∞，13B.13，1C.－13，13D.－∞，13∪13，1D[由1－x0，3x－1≠0，得x1且x≠13，故选D.]求函数的解析式【例2】(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________．(2)已知f1＋xx＝1＋x2x2＋1x，则f(x)的解析式为________．(1)f(x)＝1＋x，x00，x＝0，－－x－1，x0(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)[(1)设x0，则－x0，∴f(－x)＝－x＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝－x＋1，∴f(x)＝－－x－1.∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝1＋x，x0，0，x＝0，－－x－1，x0.(2)令t＝1＋xx＝1x＋1，则t≠1.把x＝1t－1代入f1＋xx＝1＋x2x2＋1x，得f(t)＝1＋1t－121t－12＋11t－1＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f1x，使用解方程组法．(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________．(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式．(1)12x＋12[因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝12x＋12.](2)[解]因为f(x)的对称轴为x＝－1，所以－b2a＝－1即b＝2a，又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1，由条件③知：a0，且4ac－b24a＝0，即b2＝4ac，由上可求得a＝14，b＝12，c＝14，所以f(x)＝14x2＋12x＋14.函数的性质及应用【例3】已知函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f12＝25.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数．思路点拨：(1)用f(0)＝0及f12＝25求a，b的值；(2)用单调性的定义求解．[解](1)由题意，得f（0）＝0，f12＝25，∴a＝1，b＝0，故f(x)＝x1＋x2.(2)任取－1x1x21，则f(x1)－f(x2)＝x11＋x21－x21＋x22＝（x1－x2）（1－x1x2）（1＋x21）（1＋x22）.∵－1x1x21，∴x1－x20，1＋x210，1＋x220.又－1x1x21，∴1－x1x20，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x)在(－1，1)上是增函数．1．在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)0.[解]由f(t－1)＋f(t)0得f(t－1)－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1，1)上是增函数，∴－1t－1－t1，∴0t12，∴不等式的解集为t0t12.2．把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求f(x)的解析式．[解]由题意可知，f(－x)＝f(x)，即－ax＋b1＋x2＝ax＋b1＋x2，∴a＝0，又f12＝25，∴b＝12，∴f(x)＝12＋2x2.巧用奇偶性及单调性解不等式(1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式．(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解．函数的性质及应用【例4】已知：函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．(1)求证：f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)的单调性；(4)求函数f(x)的值域．[解](1)证明：∵函数的定义域为[－3，3]，关于原点对称，又∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，当－3≤x0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，即f(x)＝（x－1）2－2，0≤x≤3，（x＋1）2－2，－3≤x0.根据分段函数的作图方法，可得函数图象如图所示．(3)函数f(x)的单调区间为：[－3，－1)，[－1，0)，[0，1)，[1，3]．f(x)在[－3，－1)，[0，1)上为减函数；在[－1，0)，[1，3]上为增函数．(4)由f(x)的图象可知函数的值域为[－2，2]．因为函数的图象从图形上很好地反映了函数的性质，所以在研究函数的性质时要注意结合图象，在解方程和不等式时有时需画出图象，利用数形结合能达到快速解题的目的．3.定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)，在(0，＋∞)上为增函数，当x0时，f(x)的图象如图所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]0的解集是________．(0，3)∪(－3，0)[因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，故x[f(x)－f(－x)]＝x[f(x)－(－f(x))]＝2xf(x)0，由题图知，当x0时，若0x3，则f(x)0，若x3，则f(x)0.又因为f(x)为奇函数，所以当x－3时，f(x)0，当－3x0时，f(x)0.而不等式2xf(x)0可化为x0，f（x）0或x0，f（x）0，故不等式的解集为(0，3)∪(－3，0)．]