2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ） 1.2.4 诱导公式课件 新人教B版必修

第一章基本初等函数(Ⅱ)1.2任意角的三角函数1.2.4诱导公式自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．掌握诱导公式，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值，并能进行简单三角函数式的化简与恒等式的证明．2．通过公式的运用，了解从未知到已知、复杂到简单的转化过程.1．角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系(公式(一))cos(α＋k·2π)＝；sin(α＋k·2π)＝；tan(α＋k·2π)＝.2．角α与－α的三角函数间的关系(公式(二))cos(－α)＝；sin(－α)＝；tan(－α)＝.cosαsinαtanαcosα－sinα－tanα3．角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系(公式(三))cos[α＋(2k＋1)π]＝；sin[α＋(2k＋1)π]＝；tan[a＋(2k＋1)π]＝.－cosα－sinαtanα4．角α＋nπ(n∈Z)的三角函数值sin(α＋nπ)＝当n为奇数，当n为偶数；cos(α＋nπ)＝当n为奇数，当n为偶数；tan(α＋nπ)＝(n∈Z)．－sinαsinα－cosαcosαtanα5．角α与α＋π2的三角函数间的关系(公式(四))cosα＋π2＝；sinα＋π2＝.以－α替代α可得另一组公式：cos－α＋π2＝；sin－α＋π2＝.－sinαcosαsinαcosα1．sin－25π6的值为()A.12B.－12C．－32D.32解析：sin－25π6＝sin－24π6－π6＝sin－π6＝－sinπ6＝－12.故选B.答案：B2．cos300°＝________.解析：cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝12.答案：123．若sin(π＋α)＝55，α是第四象限角，则cosα＝________.解析：sin(π＋α)＝－sinα，∴sinα＝－55，又α是第四象限角，∴cosα＝1－sin2α＝255.答案：255典例精析规律总结课堂互动探究利用诱导公式求值类型1(1)sin－π6的值等于()A.12B.－12C.32D.－32(2)cos(－1110°)＝()A.12B.32C．－12D.－32【解析】(1)sin－π6＝－sinπ6＝－12，故选B.(2)cos(－1110°)＝cos(－1080°－30°)＝cos(－30°)＝cos30°＝32.故选B.【答案】(1)B(2)B【知识点拨】(1)α＋k·2π，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，可简单地记成“函数名不变，符号看象限”．(2)α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．已知sinα＝－23，且α在第三象限，则tan(π＋α)等于()A.255B.－255C.52D.－52解析：sinα＝－23，α在第三象限，∴cosα＝－1－49＝－53，∴tanα＝25＝255，∴tan(π＋α)＝tanα＝255，故选A.答案：Asin315°sin(－1260°)＋cos390°·sin(－1020°)＝________.解析：原式＝(－sin45°)·sin180°＋cos30°sin60°＝－22×0＋32×32＝34.答案：34利用诱导公式化简类型2已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则sin－α－3π2cos3π2－αtan2π－αcosπ2－αsinπ2＋α＝()A.916B.－916C.34D.－34【解析】由5x2－7x－6＝0得x1＝－35或x2＝2，∵α是第三象限角，∴sinα＝－35，cosα＝－45，sin－α－3π2cos3π2－αtan2π－αcosπ2－αsinπ2＋α＝cosα－sinαtan2αsinαcosα＝－tan2α＝－sinαcosα2＝－916.故选B.【答案】B【知识点拨】(1)应用诱导公式的重点是“函数名称”与正负号的正确判断，要牢记“奇变偶不变，符号看象限”．(2)题目中出现形如kπ＋α(k∈Z)形式时，要注意分类讨论．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，y)，且tanα＝－43.(1)求sinα＋cosα的值；(2)求sinπ－α＋2cosπ＋αsin32π－α－cos32π＋α的值．解：(1)因为tanα＝y3＝－43，所以y＝－4，则r＝5.∴sinα＝－45，cosα＝35，则sinα＋cosα＝－15.(2)原式＝sinα－2cosα－cosα－sinα＝tanα－2－1－tanα＝－43－2－1＋43＝－10313＝－10.巧用角的变换求值类型3已知cosπ6－α＝m，|m|≤1，求cos5π6＋α，sin2π3－α的值．【分析】由于5π6＋α＝π－π6－α，2π3－α＝π2＋π6－α，故运用π－α，π2＋α诱导公式可求正、余弦值．【解】cos5π6＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－m，sin2π3－α＝sinπ2＋π6－α＝cosπ6－α＝m.【知识点拨】常见角的关系有：π6＋α＝π－5π6－α，π3＋α＝π2－π6－α，π4＋α＝π2－π4－α等．在解决问题时，注意题中所涉及的角的和或差是否与π，π2有关，从而帮助我们选择恰当的公式．已知sinπ3－x＝35，则cosx＋π6＝()A.35B.45C．－35D.－45解析：cosx＋π6＝cosπ2－π3－x＝sinπ3－x＝35.故选A.答案：A若角α(－180°α180°)的终边经过点P(sin20°，－cos20°)，则α＝()A．110°B.20°C．－20°D.－70°解析：tanα＝－cos20°sin20°＝－sin70°cos70°＝－tan70°＝tan(－70°)，∵sin20°0，－cos20°0，∴P点在第四象限，∴α＝－70°，故选D.答案：D即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一利用诱导公式求值1．sin570°＝()A.32B.－32C.12D.－12解析：sin570°＝sin(360°＋210°)＝sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12，故选D.答案：D知识点二利用诱导公式化简2.1＋2sin2π－2cos2π－2等于()A．sin2＋cos2B.cos2－sin2C．－sin2－cos2D.sin2－cos2解析：1＋2sin2π－2cos2π－2＝1－2sin2cos2＝sin2－cos22＝sin2－cos2.故选D.答案：D知识点三化简求值3．已知tan(π－α)＝－12，则cosπ2＋α＋cosα2cosα－sinα的值是()A.15B.13C.35D.1解析：tan(π－α)＝－12，∴tanα＝12.∴cosπ2＋α＋cosα2cosα－sinα＝－sinα＋cosα2cosα－sinα＝－tanα＋12－tanα＝13.故选B.答案：B4．若sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－m，则cos3π2－α＋2sin(2π－α)＝()A．－23mB.23mC．－32mD.32m解析：∵sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－sinα－sinα＝－2sinα＝－m，∴sinα＝m2，cos3π2－α＋2sin(2π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－32m.故选C.答案：C5．已知cosα＝13，且－π2＜α＜0，求tan－α－π·sin3π2＋αcosπ2－α·tan－α的值．解：∵cosα＝13，且－π2＜α＜0，∴sinα＝－1－cos2α＝－223，∴原式＝tan－α·－sinπ2＋αsinα·－tanα＝－tanα·－cosα－sinα·tanα＝－cosαsinα＝24.