2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题七 基本初等函数Ⅱ（三角函数）第26讲 同角的

专题七基本初等函数Ⅱ（三角函数）第26讲同角的三角函数基本关系及诱导公式1．同角的三角函数基本关系(1)平方关系：____________．(2)商数关系：sinαcosα＝tanα.答案：(1)sin2α＋cos2α＝12．下列各角的终边与角α的终边的关系角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示与角α终边的关系__________________角π－απ2－απ2＋α图示与角α终边的关系____________答案：相同关于原点对称关于x轴对称关于y轴对称关于直线y＝x对称3.诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦____________________________________余弦____________________________________正切________________________口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限答案：sinα－sinα－sinαsinαcosαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinαtanαtanα－tanα－tanα1．同角三角函数关系式的应用已知cosα＝m(m≠0，m≠±1)，求α的其他三角函数值．解：若α在第一、二象限，则secα＝1m，sinα＝1－m2，cscα＝11－m2，tanα＝1－m2m，cotα＝m1－m2.剖析：(1)运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数的值．(2)了解三角运算的基本技巧．2．诱导公式的应用计算sin－15π6cos20π3tan－7π6＝________．解析：sin－15π6cos20π3tan－7π6＝sin－2π－π2cos6π＋2π3tan－π－π6＝cos2π3tanπ6＝－12×33＝－36.答案：－36剖析：本题考查利用诱导公式求值，属于基础题．3．同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用(1)已知sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，则sin(π＋α)等于()A.35B．－35C.45D．－45(2)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23π2＜α＜π，则sinα－cosα等于()A．0B.12C.32D.43解析：(1)由已知sinπ2＋α＝35，得cosα＝35.因为α∈0，π2，所以sinα＝45.所以sin(π＋α)＝－sinα＝－45.(2)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sinα＋cosα＝23①，将①两边平方，得1＋2sinαcosα＝29，故2sinαcosα＝－79，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－－79＝169.又因为π2＜α＜π，所以sinα＞0，cosα＜0，sinα－cosα0，所以sinα－cosα＝43.答案：(1)D(2)D剖析：利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．1．已知sinα＝23，则cos(π－2α)等于()A．－53B．－19C.19D.53答案：B2．已知sin(π－α)＝－2sinπ2＋α，则sinα·cosα等于()A.25B．－25C.25或－25D．－15答案：B3．若sin(2π－α)＝45，α∈3π2，2π，则sinα＋cosαsinα－cosα等于()A.17B．－17C．－7D．7答案：A4．cos40°sin80°＋sin40°sin10°＝()A.12B．－32C．cos50°D.32答案：D5．已知α为钝角，sinπ4＋α＝34，则sinπ4－α＝________．解析：因为α为钝角，所以cosπ4＋α＝－74，所以sinπ4－α＝cosπ2－π4－α＝cosπ4＋α＝－74.答案：－746．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则sin－α－32πcos32π－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)＝________.解析：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－35，x2＝2.由α是第三象限角，所以sinα＝－35，cosα＝－45.所以sin－α－32πcos32π－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)＝sinπ2－αcosπ2＋αsinαcosα·tan2α＝cosα（－sinα）sinαcosα·tan2α＝－tan2α＝－sin2αcos2α＝－916.答案：－9167．已知cosπ6－θ＝a，求cos5π6＋θ＋sin2π3－θ的值．解：cos5π6＋θ＝cosπ－π6－θ＝－cosπ6－θ＝－a.sin2π3－θ＝sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，所以cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝0.8．(1)若角α是第二象限角，化简：tanα·1sin2α－1；(2)化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin2130°.解：(1)原式＝tanα·1－sin2αsin2α＝tanα·cos2αsin2α＝sinαcosα·cosαsinα.因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以原式＝sinαcosα·cosαsinα＝sinαcosα·－cosαsinα＝－1.(2)原式＝sin2130°＋cos2130°－2sin130°cos130°sin130°＋cos2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.9．已知f(α)＝sin－α＋π2·cos3π2－α·tan（α＋5π）tan（－α－π）·sin（α－3π）.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cosα－3π2＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝cosα（－sinα）tanα（－tanα）（－sinα）＝－cosα.(2)因为cosα－3π2＝－sinα，所以sinα＝－15，cosα＝－1－－152＝－256.所以f(α)＝256.(3)因为－31π3＝－6×2π＋5π3，所以f(α)＝f－31π3＝－cos－31π3＝－cos－6×2π＋5π3＝－cos5π3＝－cosπ3＝－12.