2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题二 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第5讲 指数与指

专题二函数的概念与基本初等函数Ⅰ第5讲指数与指数函数1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于________；0的负分数指数幂________．(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝______，(ar)s＝________，(ab)r＝______，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q.答案：(1)0没有意义(2)ar＋sarsarbr2．指数函数的图象与性质y＝axa10a1图象定义域(1)R值域(2)______(3)过定点______(4)当x0时，______；当x0时，______(5)当x0时，____；当x0时，______性质(6)在(－∞，＋∞)上是______(7)在(－∞，＋∞)上是______答案：(2)(0，＋∞)(3)(0，1)(4)y＞10＜y＜1(5)0＜y＜1y＞1(6)增函数(7)减函数1．指数幂的运算(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________．(2)14－12·（4ab－1）3（0.1）－1·（a3·b－3）12＝________．解析：(1)原式＝64100015－5223－27813－1＝410315×－52×23－32313－1＝52－32－1＝0.(2)原式＝2×432×a32b－3210a32b－32＝85.答案：(1)0(2)85剖析：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数的图象及应用(1)函数y＝x2，x0，2x－1，x≥0的图象大致是()ABCD(2)已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为________．解析：(1)当x0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.(2)由f(x)过定点(2，1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2，4]上是增函数，所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.故f(x)的值域为[1，9]．答案：(1)B(2)[1，9]剖析：(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．3．指数函数的图象和性质(1)已知a＝(2)43，b＝225，c＝12－3，则()A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为()A.13B．1C．3D.13或3解析：(1)a＝(2)43＝223，b＝225，c＝12－3＝23，因为y＝2x为单调递增函数，且25＜23＜3，所以b＜a＜c.(2)令ax＝t，t＞0，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈1a，a，又函数y＝(t＋1)2－2在1a，a上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当0a1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈a，1a，又函数y＝(t＋1)2－2在a，1a上单调递增，则ymax＝1a＋12－2＝14，解得a＝13(负值舍去)．综上知a＝3或a＝13.答案：(1)A(2)D剖析：指数函数的性质及应用问题解题策略：(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用(1)当x∈[－2，0]时，函数y＝3x＋1－2的值域是________．(2)函数f(x)＝12－x2＋2x＋1的单调减区间为________．解析：(1)因为x∈[－2，0]时，y＝3x＋1－2为增函数，所以3－2＋1－2≤y≤30＋1－2，即－53≤y≤1.(2)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝12u在R上为减函数，所以函数f(x)＝12－x2＋2x＋1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，所以f(x)的减区间为(－∞，1]．答案：(1)－53，1(2)(－∞，1]1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为()A．－9B．7C．－10D．9答案：B2．已知函数f(x)＝a－x＋2＋1，若f(－1)＝9，则a＝()A．2B．－2C．8D．－8答案：A3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．bacC．acbD．bca答案：B4．如图，在四个图形中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝bax的图象可能是()解析：根据指数函数y＝bax可知a，b同号且不相等，则二次函数y＝ax2＋bx的对称轴x＝－b2a0，可排除B与D，又二次函数y＝ax2＋bx，当x＝0时，y＝0，而A中，x＝0时，y0，故A不正确．故选C.答案：C5．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于()A．5B．7C．9D．11解析：由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，所以(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝22a＋2－2a＝7.答案：B6．当x∈(－∞，－1)时，不等式(2m－1)·4x－2x0恒成立，则实数m的取值范围是()A．m32B．m0C．m≤32D．0m32解析：当x∈(－∞，－1)时，不等式(2m－1)·4x－2x0可转化为2m－112x，当x＝－1时，2m－12，解得m32，因为x取不到－1，故m≤32.答案：C7．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系为________．解析：因为a2－2a－3＝0，所以a＝3或a＝－1(舍)．函数f(x)＝3x在R上递增，由f(m)f(n)，得mn.答案：mn8．若“m≥a”是“函数f(x)＝2x＋m－13图象不过第三象限”的充要条件，则实数a＝________．解析：函数f(x)＝2x＋m－13的图象不过第三象限，则f(0)＝1＋m－13≥0，即m≥－23，若“m≥a”是“函数f(x)＝2x＋m－13图象不过第三象限”的充要条件，则a＝－23.答案：－239．设函数f(x)＝ax＋b，x＜02x，x≥0且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象(不写过程)并求值域．解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得－2a＋b＝3，－a＋b＝2，解得a＝－1，b＝1，则f(x)＝－x＋1，x＜0，2x，x≥0.(2)f(x)的图象如图，由图象知f(x)的值域为[1，＋∞)．10．已知函数f(x)＝13ax2－4x＋3，(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝13－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝13t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝13g（x），由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有a＞0，3a－4a＝－1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.