（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 8 第8讲 正弦定理和余弦定理

数学第四章三角函数、解三角形第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破1．实际问题中的常用述语(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线______的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．上方下方(2)方位角从正____方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．(3)方向角相对于某一正方向的角(如图③)．①北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．②东北方向：指北偏东45°.③其他方向角类似．北2．解三角形应用题的一般步骤[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向．()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(5)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，π2)．()√××√√[教材衍化]1．(必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则可以计算出A，B两点的距离为________m.解析：由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsinB，又因为∠B＝30°，所以AB＝AC·sin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m)．答案：5022．(必修5P13例3改编)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米．解析：由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，所以∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，所以asin30°＝PBsin15°，所以PB＝6－22a，所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sinγ＋asinβ＝6－22a×sin60°＋asin15°＝22a.答案：22a[易错纠偏](1)方向角与方位角概念不清；(2)仰角、俯角概念不清；(3)不能将空间问题转化为解三角形问题．1.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上，则灯塔A相对于灯塔B的方向为()A．北偏西5°B．北偏西10°C．北偏西15°D．北偏西20°解析：选B.易知∠B＝∠A＝30°，C在B的北偏西40°的方向上，又40°－30°＝10°，故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°.2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC＝________．答案：130°3．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部所连的线成30°角，则两条船相距________m.解析：由题意画示意图，如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝33×30＝103(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．答案：103如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1km，AC＝3km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)测量距离【解】在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3，在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos150°，得9＝3＋CD2＋23×32CD，即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32，BC＝BD＋CD＝33－12，两个小时小王和小李可徒步攀登1250×2＝2500米，即2.5千米，而33－1236－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．(变条件、变问法)若本例条件“BD＝1km，AC＝3km”变为“BD＝200m，CD＝300m”，其他条件不变，则这条索道AC长为________．解析：在△ABD中，BD＝200，∠ABD＝120°.因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得BDsin∠DAB＝ADsin∠ABD，所以200sin30°＝ADsin120°.所以AD＝200×sin120°sin30°＝2003(m)．在△ADC中，DC＝300m，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos150°＝390000，所以AC＝10039.故这条索道AC长为10039m.答案：10039m距离问题的类型及解法(1)测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达．(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．解：在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.所以BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB＝5km，所以A，B之间的距离为5km.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.测量高度【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得600sin45°＝BCsin30°，解得BC＝3002m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006(m)．【答案】1006求解高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．(2020·浙江省名校协作体联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130m，则塔的高度CD＝________m.解析：由题意可知，设CD＝h，则AD＝h3，BD＝3h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，所以由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos120°，可得1302＝3h2＋h23－2·3h·h3·－12，解得h＝1039，故塔的高度为1039m.答案：1039一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．测量角度【解】(1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝23－2，BC＝4，根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24，所以AC＝26.(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝4×3226＝22，所以∠CAB＝45°.解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．1.甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．解析：设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且ACBC＝3，由正弦定理得ACBC＝sin120°sin∠BAC＝3，所以sin∠BAC＝12.又因为0°∠BAC60°，所以∠BAC＝30°.所以甲船应沿北偏东30°的方向前进．答案：30°2．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α的方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得BCsinα＝ACsin120°，解得sinα＝20sin120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.(2020·浙江名校联考)如图，在平面四边形ABCD中，0∠DABπ2，AD＝2，AB＝3，△ABD的面积为332，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝2π3，求BC的长．求解几何计算问题【解】(1)因为△ABD的面积S＝12AD×ABsin∠DAB＝12×2×3sin∠DAB＝332，所以sin∠DAB＝32.又0∠DABπ2，所以∠DAB＝π3，所以cos∠DAB＝cosπ3＝12.由余弦定理得BD＝AD2＋AB2－2AD·ABcos∠DAB＝7，由正弦定理得sin∠ABD＝ADsin∠DABBD＝217.(2)法一：因为AB⊥BC，所以∠ABC＝π2，sin∠DBC＝sinπ2－∠ABD＝cos∠ABD＝1－sin2∠ABD＝277.在△BCD中，由正弦定理CDsin∠DBC＝BDsin∠DCB可得CD＝BDsin∠DBCsin∠DCB＝433.由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2，可得3BC2＋43BC－5＝0，解得BC＝33或BC＝－533(舍去)．故BC的长为33.法二：因为AB⊥BC，所以∠ABC＝π2，sin∠DBC＝sinπ2－∠ABD＝cos∠ABD＝1－sin2∠ABD＝277.cos∠DBC＝cosπ2－∠ABD＝sin∠ABD＝217.sin∠BDC＝sin(π－∠BCD－∠DBC)＝sinπ3－∠DBC＝32cos∠DBC－12sin∠DBC＝714.在△BCD中，由正弦定理BCsin∠BDC＝BDsin∠BCD，可得BC＝BDsin∠BDCsin∠BCD＝7×71432＝33.求解该题第(2)问时易出现的问题是不能灵活利用“AB⊥BC”，将已知条件和第(1)问中所求值转化为△BCD内的边角关系．解决平面图形中的计