（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系

第四章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：____________________．(2)商数关系：tanα＝_______．[基本关系式变形]sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝tanαcosα，cosα＝sinαtanα，(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.sin2α＋cos2α＝1sinαcosα2．六组诱导公式组数一二三四五六角α＋2kπ(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα_______－sinαsinα_______cosα－sinαcosα组数一二三四五六余弦cosα－cosα_______－cosαsinα_______正切tanαtanα－tanα_______口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限cosα－sinαtanα简记口诀：把角统一表示为kπ2±α(k∈Z)的形式，奇变偶不变，符号看象限．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(4)若cos(nπ－θ)＝13(n∈Z)，则cosθ＝13.()××××(2019·杭州质检)已知sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，则sin(π＋α)等于()A．35B．－35C．45D．－45解析：选D.因为sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，所以cosα＝35，所以sinα＝45，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－45.若sinθcosθ＝12，则tanθ＋cosθsinθ的值是()A．－2B．2C．±2D．12解析：选B.tanθ＋cosθsinθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝1cosθsinθ＝2.sin2490°＝________；cos－523π＝________．解析：sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－12.cos－523π＝cos16π＋π＋π3＝cos(π＋π3)＝－cosπ3＝－12.答案：－12－12(教材习题改编)已知tanθ＝2，则sinθ·cosθ＝________．解析：sinθcosθ＝sinθ·cosθsin2θ＋cos2θ＝tanθtan2θ＋1＝222＋1＝25.答案：25(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)知弦求弦；(2)知弦求切；(3)知切求弦．同角三角函数的基本关系式角度一知弦求弦(2019·丽水模拟)已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈(0，π4)，则sinθ－cosθ的值为()A．23B．13C．－23D．－13【解析】(sinθ＋cosθ)2＝169，所以1＋2sinθcosθ＝169，所以2sinθcosθ＝79，由(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－79＝29，可得sinθ－cosθ＝±23.又因为θ∈(0，π4)，sinθcosθ，所以sinθ－cosθ＝－23.【答案】C角度二知弦求切已知cosπ2＋α＝35，且α∈π2，3π2，则tanα＝()A．43B．34C．－34D．±34【解析】因为cosπ2＋α＝35，所以sinα＝－35，显然α在第三象限，所以cosα＝－45，故tanα＝34.【答案】B角度三知切求弦若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A．6425B．4825C．1D．1625【解析】法一：由tanα＝sinαcosα＝34，cos2α＋sin2α＝1，得sinα＝35，cosα＝45或sinα＝－35，cosα＝－45，则sin2α＝2sinαcosα＝2425，则cos2α＋2sin2α＝1625＋4825＝6425.法二：cos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sinαcosαcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝1＋31＋916＝6425.【答案】A同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解．(2)知弦求切：常通过平方关系sin2α＋cos2α＝1及商数关系tanα＝sinαcosα结合诱导公式进行求解．(3)知切求弦：通常先利用商数关系转化为sinα＝tanα·cosα的形式，然后用平方关系求解．若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，如asinα＋bcosαcsinα＋dcosα＝atanα＋bctanα＋d；asin2α＋bcos2α＋csinαcosα＝asin2α＋bcos2α＋csinαcosαsin2α＋cos2α＝atan2α＋b＋ctanαtan2α＋1.1．已知sinα＋cosα＝15，那么角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第二或第四象限解析：选D.因为sinα＋cosα＝15，所以两边平方得1＋2sinαcosα＝125，即2sinαcosα＝－2425，所以sinαcosα0，验证可知，角α是第二或第四象限角，故选D.2．已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则sin2α－sinαcosα的值为()A．－15B．－25C．15D．25解析：选D.依题意得tanα＋33－tanα＝5，所以tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1＝22－222＋1＝25.3．已知α是第二象限的角，tanα＝－12，则cosα＝________．解析：因为α是第二象限的角，所以sinα＞0，cosα＜0，由tanα＝－12，得cosα＝－2sinα，代入sin2α＋cos2α＝1中，得5sin2α＝1，所以sinα＝55，cosα＝－255.答案：－255(1)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝________．(2)已知cosα是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，则sin（－α＋3π2）cos（3π2＋α）tan2（π－α）cos（π2＋α）sin（π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________．诱导公式的应用【解析】(1)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°·sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1.(2)因为方程3x2－x－2＝0的根为x1＝1，x2＝－23，由题知cosα＝－23，所以sinα＝－53，tanα＝52.所以原式＝－cosαsinαtan2α－sinαcosα＝tan2α＝54.(3)因为π6－α＋α－2π3＝－π2，所以α－2π3＝－π2－π6－α，所以sinα－2π3＝sin－π2－π6－α＝－cosπ6－α＝－23.【答案】(1)1(2)54(3)－23(1)诱导公式用法的一般思路①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向①切化弦，统一名．②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．1．若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝()A．2425B．1225C．－1225D．－2425解析：选D.由sin(π2＋α)＝cosα＝－35，且α∈(π2，π)，得sinα＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝－2425，选项D正确．2．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则sin3π2＋θ＋2cos（π－θ）sinπ2－θ－sin（π－θ）＝________．解析：由题意可知tanθ＝3，原式＝－cosθ－2cosθcosθ－sinθ＝－31－tanθ＝32.答案：323．(2019·宁波高三模拟)已知cos(π＋α)＝－12，求sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）sin（π－α）·cos（α＋2nπ）(n∈Z)．解：因为cos(π＋α)＝－12，所以－cosα＝－12，cosα＝12.sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）sin（π－α）cos（α＋2nπ）＝sin（α＋2nπ＋π）－sinαsinαcosα＝sin（π＋α）－sinαsinαcosα＝－2sinαsinαcosα＝－2cosα＝－4.诱导公式的再理解诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是k·π2＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α中，将α看成锐角时k·π2＋α所在的象限．三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝sinαcosα化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tanπ4＝….易错防范(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin23α＋cos23α＝1，sinα2cosα2＝tanα2.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．