（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第3讲 二元一次不等式（组）及简单的线性规

第七章不等式第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域Ax＋By＋C0(0)直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0(≤0)包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的_________公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的_________________，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的_________________构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．有序数对(x，y)有序数对(x，y)3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的_____________目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y不等式(组)名称意义线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有_______组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的_______________问题可行解最大值或最小值判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(5)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()××√√×(教材习题改编)不等式x－2y＋6＜0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的()A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方解析：选C.画出x－2y＋6＜0的图象如图所示，可知该区域在直线x－2y＋6＝0的左上方．故选C.(2017·高考浙江卷)若x，y满足约束条件x≥0，x＋y－3≥0，x－2y≤0，则z＝x＋2y的取值范围是()A．[0，6]B．[0，4]C．[6，＋∞)D．[4，＋∞)解析：选D.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x＋2y，得y＝－12x＋z2，所以z2是直线y＝－12x＋z2在y轴上的截距，根据图形知，当直线y＝－12x＋z2过A点时，z2取得最小值．由x－2y＝0，x＋y－3＝0，得x＝2，y＝1，即A(2，1)，此时，z＝4，所以z≥4，故选D.不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域的面积为________．解析：不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(2，2)，C(3，0)，则△ABC的面积为S＝12×(2－1)×2＝1.答案：1(2019·温州市普通高中模考)已知实数x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，则z＝2x＋y的最大值为____________．解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，知y＝－2x＋z，当目标函数过点(2，－1)时直线在y轴上的截距最大，为3.答案：3(1)不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于()A．32B．23C．43D．34二元一次不等式(组)表示的平面区域(2)若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．【解析】(1)不等式组所表示平面区域如图所示．解x＋3y＝4，3x＋y＝4得A(1，1)，易得B(0，4)，C0，43，|BC|＝4－43＝83.故S△ABC＝12×83×1＝43.(2)不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解y＝x，2x＋y＝2得A23，23；解y＝0，2x＋y＝2得B(1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中的a的取值范围是0a≤1或a≥43.【答案】(1)C(2)(0，1]∪[43，＋∞)二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时，边界应画为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是()解析：选C.(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即x－2y＋1≥0，x＋y－3≤0或x－2y＋1≤0，x＋y－3≥0，与选项C符合．故选C.2．(2019·杭州市富阳二中高三开学考试)若不等式组x≥0x＋3y≥43x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积比为1∶2的两部分，则k的一个值为()A．73B．43C．1D．37解析：选C.作出不等式组对应的平面区域如图：则A(0，4)，B0，43，由x＋3y＝43x＋y＝4，解得C(1，1)，则三角形ABC的面积S＝12×4－43×1＝43，因为平面区域被直线y＝kx＋43分成面积比是1∶2的两部分，所以面积较小的面积为43×13＝49，因为直线y＝kx＋43过定点B0，43，若△ABD的面积为49，则S＝12×83xD＝49，解得xD＝13，由x＝133x＋y＝4，解得D13，3，此时BD的斜率k＝3－4313－0＝5.若△ABE的面积为43×23＝89，则S＝12×83×xE＝89，xE＝23，由x＝233x＋y＝4，解得E23，2，此时BE的斜率k＝1.故k＝5或k＝1.故选C.(高频考点)线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，难度适中，属中档题．主要命题角度有：(1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)；(3)求非线性目标函数的最值(范围)．求线性目标函数的最值(范围)角度一求线性目标函数的最值(范围)(2018·高考浙江卷)若x，y满足约束条件x－y≥0，2x＋y≤6，x＋y≥2，则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．【解析】由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2，2)，(1，1)，(4，－2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)．由线性规划的知识可知，目标函数z＝x＋3y在点(2，2)处取得最大值，在点(4，－2)处取得最小值，则最小值zmin＝4－6＝－2，最大值zmax＝2＋6＝8.【答案】－28角度二已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2019·嘉兴市高考模拟)已知实数x，y满足x－3≤0y－1≥0x－y＋1≥0，若ax＋y的最大值为10，则实数a＝()A．4B．3C．2D．1【解析】画出满足条件的平面区域，如图示：由x＝3x－y＋1＝0，解得A(3，4)，令z＝ax＋y，因为z的最大值为10，所以直线在y轴上的截距的最大值为10，即直线过(0，10)，所以z＝ax＋y与可行域有交点，当a＞0时，直线经过A时z取得最大值．即ax＋y＝10，将A(3，4)代入得：3a＋4＝10，解得a＝2，当a≤0时，直线经过A时z取得最大值，即ax＋y＝10，将A(3，4)代入得：3a＋4＝10，解得：a＝2，与a≤0矛盾，综上a＝2.【答案】C角度三求非线性目标函数的最值(范围)若平面区域x＋y－3≥0，2x－y－3≤0，x－2y＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是()A．355B．2C．322D．5【解析】不等式组x＋y－3≥02x－y－3≤0x－2y＋3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1，2)、B(2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A与B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为－1，所以线段AB的长度就是过A、B两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2，故选B.【答案】B(1)利用线性规划求目标函数最值的步骤①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点；③将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值．常见的目标函数有：(ⅰ)截距型：形如z＝ax＋by；(ⅱ)距离型：形如z＝（x－a）2＋（y－b）2；(ⅲ)斜率型：形如z＝y－bx－a.(2)含参数的线性规划问题参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中，求解步骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．[提醒]求目标函数的最值时，易弄错目标函数的几何意义而求错．如x2＋y2是距离的平方，易忽视平方而求错．1．(2019·温州七校联考)实数x，y满足xy≥0|x＋y|≤1，使z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，则z1＝ax＋y＋1的最小值为()A．0B．－2C．1D．－1解析：选A.画出不等式组所表示的可行域如图中阴影所示，因为z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，所以－a＝1，a＝－1，所以当x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1时，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，所以ax＋y＋1的最小值是0，故选A.2．(2019·温州市高考模拟)若实数x，y满足y－x＋1≥0x＋y－2≤0x，y≥0，则y的最大值为________，y＋1x＋2的取值范围是________．解析：作出不等式组y－x＋1≥0x＋y－2≤0x，y≥0，对应的平面区域如图：可知A的纵坐标取得最大值：2.设z＝y＋1x＋2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(－2，－1)的斜率，由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，则z的最大为2＋10＋2＝32，最小为0＋11＋2＝13，即13≤z≤32，则z＝y＋1x＋2的取值范围是[13，32]．答案：213，323．(2019·绍兴一中高三期中)设x，y满足约束条件y≤x＋1y≥2x－1x≥0，y≥0，若目标函数z＝abx＋y(a＞0，b＞0)的最大值为35，则a＋b的最小值为________．解析：满足约束条件y≤x＋1y≥2x－1x≥0，y≥0的区域是一个四边形，如图四个顶点是(0，0)，(0，1)，12，0，(2，3)，由图易得目标函数在(2，3)取最大值35，即35＝2ab＋3，所以ab＝16，所以a＋b≥2ab＝8，当a＝b＝4时等号成立，所以a＋b的最小值为8.答案：8某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．线性规划的实际应用【解析】由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2100x＋900y，线性约束条件为1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥0，y≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以zmax＝2100×60＋900×100＝2