（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第七章 不等式 第36讲 不等关系与不等式课件 新人教A版

[知识体系]第36讲不等关系与不等式【课程要求】1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．3．掌握不等式的性质及应用．【基础检测】概念辨析1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，a＝b，ab三种关系中的一种．()(2)若ab1，则ab.()(3)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．()(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．()(5)同向不等式具有可加性和可乘性．()(6)ab0，cd0⇒adbc.()(7)若ab0，则ab⇔1a1b.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√(7)√教材改编2．[必修5p74T3]若a，b都是实数，则“a－b0”是“a2－b20”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]a－b0⇒ab⇒ab≥0⇒a2b2，但由a2－b20a－b0.则“ab”是“a2－b20”的充分不必要条件，故选A.[答案]A3．[必修5p75B组T1]若0ab，且a＋b＝1，则将a，b，12，2ab，a2＋b2按从小到大排列为________________．[解析]∵0ab且a＋b＝1，∴a12b1，∴2b1且2a1，∴a2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a＝－2a－122＋1212.即a2ab12，又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab1－12＝12，即a2＋b212，a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)，又2b－10，b－10，∴a2＋b2－b0，∴a2＋b2b，综上，a2ab12a2＋b2b.[答案]a2ab12a2＋b2b易错提醒4．设a，b∈R，则“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若a2且b1，则由不等式的同向可加性可得a＋b2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab2×1＝2.即“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的充分条件；反之，若“a＋b3且ab2”，则“a2且b1”不一定成立，如a＝6，b＝12.所以“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的充分不必要条件．故选A.[答案]A5．若－π2αβπ2，则α－β的取值范围是__________．[解析]由－π2απ2，－π2－βπ2，αβ，得－πα－β0.[答案](－π，0)【知识要点】1．不等式的定义用不等号“，≥，＜，≤，≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式．2．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b0⇔______；a－b＝0⇔a＝b；a－b0⇔______．3．不等式的基本性质(1)对称性：ab⇔______；(2)传递性：ab，bc⇒______；(3)可加性：ab⇔____________；ab，cd⇒_____________；(4)可乘性：ab，c0⇒_______；ab，c0⇒________；ab0，cd0⇒_______；(5)倒数法则：ab，ab0⇒__________；(6)乘方性质：ab0⇒______(n≥2，n∈N*)；(7)开方性质：ab0⇒________(n≥2，n∈N*)．ababbaaca＋cb＋ca＋cb＋dacbcacbcacbd1a1banbnnanb4．不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①ab，ab0⇒1a____1b；②a0b⇒1a____1b；③ab0，0cd⇒ac____bd；④0axb或axb0⇒1b____1x____1a.(2)有关分数的性质若ab0，m0，则①bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)；②aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0)．比较两个数(式)的大小例1(1)已知实数a，b满足a＋b0，则x＝ab2＋ba2与y＝1a＋1b的大小关系为()A．xyB．xyC．x≤yD．x≥y[解析]x－y＝ab2＋ba2－1a＋1b＝a－bb2＋b－aa2＝(a－b)1b2－1a2＝（a＋b）（a－b）2a2b2.∵a＋b0，(a－b)2≥0，∴（a＋b）（a－b）2a2b2≥0，∴ab2＋ba2≥1a＋1b，∴x≥y.[答案]D(2)若a0，b0，则p＝2()abab，q＝abba的大小关系是()A．p≥qB．p≤qC．pqD．pq[解析]因为p0，q0，所以pq＝2()abbaabab＝22abbaab＝2abab，若ab0，则ab1，a－b0，∴pq1；若ba0，则0ab1，a－b0，∴pq1；若a＝b，则p＝q；所以p≥q.[答案]A(3)若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac[解析]对于函数f(x)＝lnxx，f′(x)＝1－lnxx2，易知当xe时，函数f(x)单调递减．因为e345，所以f(3)f(4)f(5)，即cba.[答案]B[小结](1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋czB．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cxD．ay＋bx＋cz[解析]作差比较，∵x＜y＜z，a＜b＜c，则(az＋by＋cx)－(ax＋by＋cz)＝a(z－x)＋c(x－z)＝(a－c)(z－x)＜0，∴az＋by＋cx＜ax＋by＋cz；(az＋by＋cx)－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)＜0，∴az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx；(ay＋bz＋cx)－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(b－c)(z－x)＜0，∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz，∴az＋by＋cx最小．故选B.[答案]B2．已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则S3a3与S5a5的大小关系为________．[解析]当q＝1时，S3a3＝3，S5a5＝5，所以S3a3＜S5a5.当q＞0且q≠1时，S3a3－S5a5＝a1（1－q3）a1q2（1－q）－a1（1－q5）a1q4（1－q）＝q2（1－q3）－（1－q5）q4（1－q）＝－q－1q4＜0，所以S3a3＜S5a5.综上可知S3a3＜S5a5.[答案]S3a3＜S5a5不等式的性质例2(1)(多选)已知a，b，c满足cba，且ac0，那么下列选项中一定成立的是()A．abacB．(b－a)c0C．cb2ab2D．ac(a－c)0[解析]由cba，且ac0，知a0，c0，故由bc，a0⇒abac，A正确；由ba，c0⇒(b－a)c0，B正确；由ca，b2≥0⇒cb2≤ab2，当b＝0时取等号，故C错误；由ca，ac0⇒ac(a－c)0，D错误．[答案]AB(2)如果ab0，那么下列不等式成立的是()A.1a1bB．abb2C．－ab－a2D．－1a－1b[解析]法一(性质判断)：对于A项，由ab0，得b－a0，ab0，故1a－1b＝b－aab0，1a1b，故A项错误；对于B项，由ab0，得b(a－b)0，abb2，故B项错误；对于C项，由ab0，得a(a－b)0，a2ab，即－ab－a2，故C项错误；对于D项，由ab0，得a－b0，ab0，故－1a－－1b＝a－bab0，－1a－1b成立，故D项正确．法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，则1a＝－121b＝－1，ab＝2b2＝1，－ab＝－2－a2＝－4，－1a＝12－1b＝1.故A、B、C项错误，D项正确．[答案]D[小结]不等式性质应用问题的三大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．3．(多选)若1a1b0，则下列不等式正确的是()A.1a＋b1abB．|a|＋b0C．a－1ab－1bD．lna2lnb2[解析]由1a1b0，可知ba0.A中，因为a＋b0，ab0，所以1a＋b0，1ab0.故有1a＋b1ab，即A正确；B中，因为ba0，所以－b－a0，故－b|a|，即|a|＋b0，故B错误；C中，因为ba0，又1a1b0，则－1a－1b0，所以a－1ab－1b，故C正确；D中，因为ba0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2a20，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2lna2，故D错误．[答案]AC不等式性质的应用例3已知ab0，给出下列四个不等式：①a2b2；②2a2b－1；③a－ba－b；④a3＋b32a2b.其中一定成立的不等式为()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[解析]法一：由ab0可得a2b2，①成立；由ab0可得ab－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)f(b－1)，即2a2b－1，②成立；∵ab0，∴ab，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)0，∴a－ba－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35，2a2b＝36，a3＋b32a2b，④不成立．故选A.法二：令a＝3，b＝2，可以得到①a2b2，②2a2b－1，③a－ba－b均成立，而④a3＋b32a2b不成立，故选A.[答案]A[小结]判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．例4设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．[解析]法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m、n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是得m＋n＝4，n－m＝－2，解得m＝3，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10.法二：由f（－1）＝a－b，f（1）＝a＋b，得a＝12[f（－1）＋f（1）]，b＝12[f（1）－f（－1）].∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法三：由1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4.