（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题四 函数与导数、不等式 第15讲 函数的图象与性质课

第15讲函数的图象与性质课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高[主干知识再强化]1．图象变换(1)平移变换：y＝f(x)――――――――――→a0，右移a个单位a0，左移|a|个单位y＝f(x－a)；y＝f(x)――――――――――→b0，上移b个单位b0，下移|b|个单位y＝f(x)＋b.(2)伸缩变换：y＝f(x)y＝f(ωx)；y＝f(x)――――――――――→A1，伸为原来的A倍0A1，缩为原来的A倍y＝Af(x)．(3)对称变换：y＝f(x)――――――――――→关于x轴对称y＝－f(x)；y＝f(x)――――――――――→关于y轴对称y＝f(－x)；y＝f(x)――――――――――→关于原点对称y＝－f(－x)．(4)翻折变换：y＝f(x)――――――――――――――――――→去掉y轴左边图，保留y轴右边图将y轴右边的图象翻折到左边去y＝f(|x|)；y＝f(x)――――――――――――――――→留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f(x)|.2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质(1)f(x)与a·f(x)在a0时具有相同的单调性，在a0时具有相反的单调性．(2)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．3．复合函数的单调性对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．4．奇偶性的5个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．5．周期性的4个常用结论设函数y＝f(x)，x∈R，a0.(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝1fx，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝－1fx，则函数的周期为2a.6．有关函数的对称性问题(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．(3)若f(x＋a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称；若f(x＋a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x＝a对称．(4)若函数y＝f(x)的图象有两条对称轴x＝a，x＝b(a≠b)，则函数y＝f(x)必是周期函数，且一个周期为T＝2|a－b|；(5)若函数y＝f(x)的图象有两个对称中心A(a,0)，B(b，0)(a≠b)，则函数y＝f(x)必是周期函数，且一个周期为T＝2|a－b|；(6)如果函数y＝f(x)的图象有一个对称中心A(a，c)和一条对称轴x＝b(a≠b)，则函数y＝f(x)必是周期函数，且一个周期为T＝4|a－b|.[经典考题再回首]1．(2019·全国卷Ⅱ改编)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－89，则m的取值范围是________．解析：∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)，∴当x∈(0,1]时，f(x)∈－14，0.∵f(x＋1)＝2f(x)，∴当x∈(－1,0]时，x＋1∈(0,1]，f(x)＝12f(x＋1)＝12(x＋1)x，f(x)∈－18，0；当x∈(－2，－1]时，x＋1∈(－1,0]，f(x)＝12f(x＋1)＝14f(x＋2)＝14(x＋2)(x＋1)，f(x)∈－116，0；…；当x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)，f(x)∈－12，0；当x∈(2,3]时，x－1∈(1,2]，f(x)＝2f(x－1)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，f(x)∈[－1,0]；答案：－∞，73….作出函数f(x)的图象，由图可知，当2x≤3时，令4(x－2)(x－3)＝－89，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝73或x＝83，将这两个值标注在图中．要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－89，必有m≤73，即实数m的取值范围是－∞，73.2．(2019·全国卷Ⅱ改编)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x0时，f(x)＝________.解析：当x0时，－x0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.答案：－e－x＋13．(2018·江苏高考)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________．解析：由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，所以函数f(x)＝log2x－1的定义域为{x|x≥2}．答案：{x|x≥2}4．(2018·全国卷Ⅱ改编)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________.解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.答案：25．(2018·天津高考)已知a∈R，函数f(x)＝x2＋2x＋a－2，x≤0，－x2＋2x－2a，x＞0.若对任意x∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是________．解析：当－3≤x≤0时，f(x)≤|x|恒成立等价转化为x2＋2x＋a－2≤－x恒成立，即a≤－x2－3x＋2恒成立，所以a≤(－x2－3x＋2)min＝2；当x0时，f(x)≤|x|恒成立等价转化为－x2＋2x－2a≤x恒成立，即a≥－x2＋x2恒成立，所以a≥－x2＋x2max＝18.综上，a的取值范围是18，2.答案：18，2课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效一、小题考法——求“准”求“快”考法一函数的概念[例1](1)函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域是________．(2)(2019·南京三模)若函数f(x)＝2x，x≤0，fx－2，x0，则f(log23)＝________.(3)已知函数f(x)＝1－2ax＋3a，x1，2x－1，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是________．[解析](1)由题意得2x－4＞0，x－3≠0解得x＞2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．(2)f(log23)＝f(log23－2)＝2log23－2＝2log2322＝34.(3)当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，∵函数f(x)＝1－2ax＋3a，x1，2x－1，x≥1的值域为R，∴当x1时，y＝(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则1－2a0，1－2a＋3a≥1，解得0≤a＜12.[答案](1)(2,3)∪(3，＋∞)(2)34(3)0，12[解题方略]1．函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的4种常见类型及解题策略常见类型解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解考法二函数图象的应用[例2](1)(2019·无锡调研)设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f(2018)＋f(2019)＝________.(2)(2019·如东中学检测)已知函数f(x)＝2x2－4x＋1，x0，ex，x≤0，则y＝f(x)(x∈R)的图象上关于坐标原点O对称的点共有________对．[解析](1)因为函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2018)＝f(2018－673×3)＝f(－1)，f(2019)＝f(2019－673×3)＝f(0)，由题中图象知f(－1)＝－1，f(0)＝0，所以f(2018)＋f(2019)＝f(－1)＋f(0)＝－1.(2)由题意知，函数y＝f(x)(x∈R)的图象上关于原点O对称的点即函数y＝ex的图象关于原点的对称图象(函数y＝－e－x的图象)与y＝2x2－4x＋1(x0)的图象的交点，如图，作出函数y＝－e－x和y＝2x2－4x＋1的图象，由图知函数y＝－e－x的图象与y＝2x2－4x＋1(x0)的图象有两个交点，所以满足条件的对称点有2对．[答案](1)－1(2)2[解题方略]对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．考法三利用函数的性质进行求值[例3](1)(2019·苏北四市期末)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)及f(x)＝－f(－x)，且在[0,1]上有f(x)＝x2，则f201912＝________.(2)已知函数f(x)＝cos2x－π2＋xx2＋1＋1，则f(x)的最大值与最小值的和为________．[解析](1)因为函数f(x)的定义域是R，f(x)＝－f(－x)，所以函数f(x)是奇函数．又f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f201912＝f2020－12＝f－12＝－f12.因为在[0,1]上有f(x)＝x2，所以f12＝122＝14，故f201912＝－14.(2)由已知得f(x)＝sin2