（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题三 解析几何 第8讲 直线与圆课件

小题考情常考点1.直线与圆、圆与圆的位置关系(5年4考)2.双曲线的方程及几何性质(5年5考)偶考点直线的方程、圆的方程、椭圆的几何性质、抛物线的方程大题考情主要考查直线与椭圆(如2015年、2017年、2018年、2019年)的位置关系、弦长问题、面积问题等；有时也考查直线与圆(如2016年)，2019年也考查了直线与椭圆、圆的综合问题，常与向量结合在一起命题.第8讲直线与圆课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高[主干知识再强化]1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；(2)重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0；(3)相交⇔A1B2－A2B1≠0；(4)垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.2．直线与圆相交求弦长的方法(1)几何法由弦心距d、半径r和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线方程代入圆方程中，消去y得关于x的一元二次方程，求出x1＋x2和x1·x2，则|MN|＝1＋k2·x1＋x22－4x1·x2.3．判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离O1O2与两圆半径R，r(Rr)的关系来判断两圆位置关系．(1)外离：O1O2R＋r；(2)外切：O1O2＝R＋r；(3)相交：R－rO1O2R＋r；(4)内切：O1O2＝R－r；(5)内含：0≤O1O2R－r.4．有关结论(1)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(2)过圆C外一点P做圆C的切线，切点分别为A，B(求切线时要注意斜率不存在的情况)如图所示，则①P，B，C，A四点共圆，且该圆的直径为PC；②该四边形是有两个全等的直角三角形组成；③cos∠BCA2＝sin∠BPA2＝rPC；④直线AB的方程可以转化为圆C与以PC为直径的圆的公共弦，且P(x0，y0)时，直线AB的方程为x0x＋y0y＝r2.(3)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；(4)在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足PA＝λPB,当λ0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．(5)在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足PA→·PB→＝λ(或PA2＋PB2是定值)，则P点的轨迹是个圆．[经典考题再回首]1．(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.解析：由题意得，圆心C(0，m)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝|－m＋3|5＝r，又r＝|AC|＝4＋m＋12，所以|－m＋3|5＝4＋m＋12，解得m＝－2，所以r＝5.答案：－252．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋4x(x0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．解析：由题意可设Px0，x0＋4x0(x00)，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝x0＋x0＋4x02＝2x0＋4x02≥22x0·4x02＝4，当且仅当2x0＝4x0，即x0＝2时取等号．故所求最小值是4.答案：43．(2019·江苏高考)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．解：(1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系．因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.因为AB为圆O的直径，AB＝10，所以圆O的方程为x2＋y2＝25.从而A(4,3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为34.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－43，直线PB的方程为y＝－43x－253.所以P(－13,9)，PB＝－13＋42＋9＋32＝15.因此道路PB的长为15(百米)．(2)均不能．理由如下：①若P在D处，取线段BD上一点E(－4,0)，则EO＝45，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知D(－4,9)，又A(4,3)，所以线段AD：y＝－34x＋6(－4≤x≤4)．在线段AD上取点M3，154，因为OM＝32＋154232＋42＝5，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．当∠OBP＝90°时，设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13,9)；当∠OBP90°时，在△PP1B中，PBP1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，设Q(a,9)，由AQ＝a－42＋9－32＝15(a4)，得a＝4＋321，所以Q(4＋321，9)．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当P(－13,9)，Q(4＋321，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝4＋321－(－13)＝17＋321.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋321(百米)．课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效一、小题考法——求“准”求“快”考法一直线、圆的方程[例1](1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k＝________.(2)(2019·苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，过点A(1,3)，B(4,6)，且圆心在直线x－2y－1＝0上的圆的标准方程为________．[解析](1)当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，所以两直线不平行；当k≠4时，两直线平行的一个必要条件是3－k4－k＝k－3，解得k＝3或k＝5，但必须满足1k－4≠32(截距不等)才是充要条件，经检验知满足这个条件．(2)因为线段AB的中点为M52，92，斜率kAB＝1，所以线段AB的垂直平分线方程为y－92＝－x－52，即x＋y＝7.由x＋y＝7，x－2y＝1，得圆心C(5,2)，半径r＝CA＝17，所以圆C的方程为(x－5)2＋(y－2)2＝17.[答案](1)3或5(2)(x－5)2＋(y－2)2＝17[解题方略]1．求直线方程的两种方法直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程待定系数法先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程2．求圆的方程的两种方法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法．圆心到切线的距离等于半径，该结论在解题过程中经常用到，需牢记考法二直线与圆的位置关系[例2](1)设点M(x0，y0)为直线3x＋4y＝25上一动点，过点M作圆x2＋y2＝2的两条切线，切点为B，C，则四边形OBMC面积的最小值为________．(2)(2019·南通检测)已知直线x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r0)相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且3AD→＝5DB→，则r＝________.[解析](1)圆心O到直线3x＋4y＝25的距离d＝259＋16＝5，则|OM|≥d＝5，所以切线长|MB|＝|OM|2－2≥d2－2＝23，所以S四边形OBMC＝2S△OBM≥2×12×23×2＝46.(2)如图，过O作OE⊥AB于E，连结OA，则|OE|＝|0＋0－2|12＋12＝2.易知|AE|＝|EB|，不妨令|AD|＝5m(m0)，由3AD→＝5DB→，可得|BD|＝3m，|AB|＝8m，则|DE|＝4m－3m＝m，在Rt△ODE中，有12r2＝(2)2＋m2.①在Rt△OAE中，有r2＝(2)2＋(4m)2.②联立①②，解得r＝10.[答案](1)46(2)10[解题方略](1)直线与圆的位置关系有相离(没有公共点)、相切(只有一个公共点)、相交(有两个公共点)三种，判断直线与圆的位置关系常用方法为：一是圆心到直线的距离与圆的半径比较大小；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．(2)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到．考法三隐形圆问题有些题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．[例3](1)若直线l：ax＋y－4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2＋y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，则实数a的取值范围为________．(2)(2019·宿迁期末)已知点A(－1,0)，B(1,0)，若圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上存在点M满足MA→·MB→＝3，则实数a的取值范围是________．[解析](1)记线段AB的中点为M，因为△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，所以点C在以M为圆心，半径为1的圆上，又因为点C在圆O上，所以圆M和圆O有公共点，即0≤OM≤2，故圆心O到直线l的距离d＝|－4a|a2＋1≤2，解得－33≤a≤33，所以实数a的取值范围为－33，33.(2)设M(x，y)，因为MA→·MB→＝3，所以点M的轨迹方程为(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝3，即x2＋y2＝4，表示圆．又因为点M在圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上，所以两圆有交点，所以2－1≤0－a＋12＋0－a－22≤1＋2，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1.[答案](1)－33，33(2)[－2,1][解题方略]隐形圆问题的常见策略(1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆；(2)动点P对两定点A，B张角是90°(kPA·kPB＝－1)确定隐形圆；(3)两定点A，B，动点P满足PA→·PB→＝λ确定隐形圆；(4)两定点A，B，动点P满足PA2＋PB2是定值确定隐形圆；(5)两定点A，B，动点P满足PA＝λPB(λ＞0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)；(6)由圆周角的性质确定隐形圆．[集训过关]1．已知圆C过点(2，3)，且与直线x－3y＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C的方程为________．解析：设圆心为(a，b)，则b－3a·33＝－1，a－22＋b－32＝a2＋b－32，解得a＝1，b＝0，r＝2，故所求圆的方程为(x－1)2＋