（名师讲坛）2020版高考数学二轮复习 专题一 三角函数和平面向量 微切口8 极化恒等式课件

专题一三角函数和平面向量微切口8极化恒等式设a，b是平面内的两个向量，则有a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]；极化恒等式的几何意义是在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则AB→·AC→＝AD2－BD2.(1)在平面四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，且AB＝1，EF＝2，CD＝5.若AD→·BC→＝15，则AC→·BD→的值为________．14【思维引导】【解析】(1)方法一(极化恒等式)：如图(1)，取AB，AC，CD，BD的中点H，I，J，K.(例1(1))在四边形ABCD中，易知EF，KI，HJ三线共点于O，因为AD→·BC→＝15，所以HK→·HI→＝154＝HO2－IO2.又因为AC→·BD→＝4HE→·HF→＝4(HO2－FO2)，在△EFI中，因为EF＝2，EI＝52，FI＝12，由中线长公式知IO2＝14，从而HO2＝4，所以AC→·BD→＝4×4－12＝14.方法二(坐标法)：建立如图(2)所示的平面直角坐标系xAy，(例1(2))设A(0,0)，B(1,0)，D(x1，y1)，C(x2，y2)．因为BC→＝AC→－AB→＝(x2－1，y2)，所以AD→·BC→＝(x1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2＋y1y2－x1＝15.因为BD→＝AD→－AB→＝(x1－1，y1)，所以AC→·BD→＝(x2，y2)·(x1－1，y1)＝x1x2＋y1y2－x2＝15＋x1－x2.因为EF→2＝x12－x2＋122＋y12－y222＝2，则(x1－x2－1)2＋(y1－y2)2＝8，即(x1－x2)2＋(y1－y2)2－2(x1－x2)＋1＝8.又因为CD→2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5，所以AC→·BD→＝15＋x1－x2＝14.方法三(基向量)：因为2EF→＝AB→＋DC→，所以4EF→2＝AB→2＋DC→2＋2AB→·DC→，又AB＝1，DC＝5，EF＝2，所以AB→·DC→＝1.因为AD→·BC→＝15，所以(AC→＋CD→)·(BD→＋DC→)＝15，则AC→·BD→＋AC→·DC→＋CD→·BD→－DC→2＝15，即AC→·BD→＋(AB→＋BC→)·DC→＋CD→·(BC→＋CD→)－5＝15，则AC→·BD→＋AB→·DC→＝15，故AC→·BD→＝14.(2)在梯形ABCD中，若AD∥BC，AD＝1，BC＝3，AB→·DC→＝2，则AC→·BD→＝________.1【解析】如图(3)，过点A作AE∥DC，交BC于点E，取BE的中点F，连接AF，过点D作DH∥AC，交BC的延长线于点H，取BH的中点G，连接DG，(例1(3))则AB→·DC→＝AB→·AE→＝AF2－BF2＝AF2－1＝2，AC→·BD→＝－DB→·DH→＝BG2－DG2＝4－DG2.因为FG＝BG－BF＝1＝AD，AD∥BC，所以四边形ADGF为平行四边形，所以AF＝DG，所以AC→·BD→＝1.在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，A＝60°，若点P满足AP→＝AB→＋λAC→，且BP→·CP→＝1，则实数λ的值为________．1或－14【解析】在△ABC中，因为AB＝1，AC＝2，A＝60°，点P满足AP→＝AB→＋λAC→，所以AP→－AB→＝λAC→，所以BP→＝λAC→.又因为CP→＝AP→－AC→＝(AB→＋λAC→)－AC→＝AB→＋(λ－1)AC→，所以BP→·CP→＝λAC→·[AB→＋(λ－1)AC→]＝λAC→·AB→＋λ(λ－1)AC→2＝λ×2×1×cos60°＋λ(λ－1)×22＝1，整理得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1，所以实数λ的值为－14或1.(注：本题用极化恒等式做较为复杂，同学们可自行尝试解答．)(1)在半径为1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则OP→·BP→的最小值是________．【思维引导】－116【解析】(1)方法一(极化恒等式)：如图(1)，取OB的中点D，连接PD，(例2(1))则OP→·BP→＝PD2－OD2＝PD2－14，即求PD的最小值．由图可知，当PD⊥OB时，PDmin＝34，则OP→·BP→的最小值是－116.(例2(2))方法二(坐标法)：以OB所在的直线为x轴，过点A且垂直于OB的直线为y轴，建立如图(2)所示的平面直角坐标系，则A0，32，O－12，0，B12，0，可得直线AB的方程为2x＋233y＝1，设Px，321－2x，则OP→＝x＋12，321－2x，BP→＝x－12，321－2x，所以OP→·BP→＝4x2－3x＋12＝4x－382－116，当x＝38时，OP→·BP→的最小值是－116.方法三(基向量)：因为OP→＝OB→＋BP→，设|BP→|＝x，x∈[0,1]，则OP→·BP→＝(OB→＋BP→)·BP→＝x2－x2＝x－142－116，所以当x＝14时，OP→·BP→取得最小值－116.(2)已知O是△ABC外接圆的圆心，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若b2－2b＋c2＝0，则BC→·AO→的取值范围是________．－14，2【解析】如图(3)，设△ABC外接圆的半径为R，分别取AB，AC的中点E，F，(例2(3))则BC→·AO→＝CB→·OA→＝(OB→－OC→)·OA→＝OB→·OA→－OC→·OA→.因为OB→·OA→＝14[(OB→＋OA→)2－(OB→－OA→)2]＝14(4OE→2－AB→2)＝OE→2－14c2＝R2－AE2－14c2＝R2－14c2－14c2＝R2－12c2，同理可得OC→·OA→＝14[(OC→＋OA→)2－(OC→－OA→)2]＝14(4OF→2－AC→2)＝OF→2－14b2＝R2－AF2－14b2＝R2－14b2－14b2＝R2－12b2，所以BC→·AO→＝R2－12c2－R2－12b2＝12b2－12c2.又因为b2－2b＋c2＝0，所以c2＝2b－b20，所以0b2，所以BC→·AO→＝12b2－12(2b－b2)＝b2－b＝b－122－14(0b2)．由0b2，得－14≤b－122－142－122－14＝2，故BC→·AO→的取值范围是－14，2.如图(1)，若正方形ABCD的边长为2，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则PD→·PC→的取值范围是________．(变式(1))[0,1]【解析】如图(2)，取CD的中点E，连接PE，(变式(2))因为PD→·PC→＝PE2－DE2＝PE2－4，又PE∈[2，5]，所以PD→·PC→∈[0,1]．(1)极化恒等式源于教材又高于教材，在△ABC中，D是BC的中点，AD→＝12(AB→＋AC→)，BD→＝12(AC→－AB→)是课本上出现的2个重要的向量三角关系，而极化恒等式就是这两个公式的变用；(2)具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．